Determinare gli autovettori: diagonabilizzazione
Leggo che,
dato $A:X->X$, l'operatore A è diagonabilizzabile
se per ogni suo autovalore la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica.
[highlight]molteplicità algebrica[/highlight]: molteplicità dell'autovalore come radice del polinomio caratteristico
esempio:
se avessi $(\lambda-2)^2=0$ dovrei avere come autovalore $\lambda=2$ con molteplicità $2$, corretto?
se avessi $(\lambda-3)=0$ dovrei avere come autovalore $\lambda=3$ con molteplicità $1$, corretto?
[highlight]molteplicità geometrica[/highlight]: dimensione del corrispondente autospazio (insieme autovettori e zero)
non capisco come si determini la dimensione dell'autospazio una volta trovato l'autovettore
esempio:
$v=(1,-1)x$ per $\lambda=1$ e $v=(1,1)x$ per $\lambda=3$
[highlight]Come si capisce la dimensione dell'autospazio!??![/highlight]
Quindi per capire A è diagonabilizzabile devo ricercare autovalori e autovettori, corretto? E vedere se per ogni autovetture le molteplicità coincidono?
dato $A:X->X$, l'operatore A è diagonabilizzabile
se per ogni suo autovalore la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica.
[highlight]molteplicità algebrica[/highlight]: molteplicità dell'autovalore come radice del polinomio caratteristico
esempio:
se avessi $(\lambda-2)^2=0$ dovrei avere come autovalore $\lambda=2$ con molteplicità $2$, corretto?
se avessi $(\lambda-3)=0$ dovrei avere come autovalore $\lambda=3$ con molteplicità $1$, corretto?
[highlight]molteplicità geometrica[/highlight]: dimensione del corrispondente autospazio (insieme autovettori e zero)
non capisco come si determini la dimensione dell'autospazio una volta trovato l'autovettore
esempio:
$v=(1,-1)x$ per $\lambda=1$ e $v=(1,1)x$ per $\lambda=3$
[highlight]Come si capisce la dimensione dell'autospazio!??![/highlight]
Quindi per capire A è diagonabilizzabile devo ricercare autovalori e autovettori, corretto? E vedere se per ogni autovetture le molteplicità coincidono?
Risposte
$Ker(f-lambdaid)=V_(lambda)$ ti dice niente?
"zio_mangrovia":
molteplicità algebrica: molteplicità dell'autovalore come radice del polinomio caratteristico
esempio:
se avessi (λ−2)2=0 dovrei avere come autovalore λ=2 con molteplicità 2, corretto?
se avessi (λ−3)=0 dovrei avere come autovalore λ=3 con molteplicità 1, corretto?
corretto
"zio_mangrovia":
molteplicità geometrica: dimensione del corrispondente autospazio (insieme autovettori e zero)
non capisco come si determini la dimensione dell'autospazio una volta trovato l'autovettore
esempio:
v=(1,−1)x per lamba=1 e v=(1,1)x per lamba=3
Come si capisce la dimensione dell'autospazio!??!
corretto anche se non capisco perchè ci metti lo zero. per definizione il vettore nullo non è autovettore e quindi direi che non appartiene all'autospazio.
la dimensione di un qualunque sottospazio (ed un autospazio lo è - prova magari a dimostrarlo) è per definizione la cardinalità di una sua base. e quindi per determinare la dimensione dell'autospazio ne calcoli la base (che sarà formata dagli autovettori di un determinato autovalore) e conti quanti sono.
"zio_mangrovia":
Quindi per capire A è diagonabilizzabile devo ricercare autovalori e autovettori, corretto?
anche questo è corretto anche se magari possono anche esserci altre vie (come per esempio il teorema spettrale, ma in generale quello che dici è vero)
"zio_mangrovia":
E vedere se per ogni autovetture le molteplicità coincidono?
a parte il fatto che credo intendessi autovettore, devi vedere per ogni autovalore. la molteplicità è infatti qualcosa che riguarda gli autovalori e non gli autovettori.
comunque mi sembra tu abbia capito il senso.
EDIT: mi hanno preceduto.
"anto_zoolander":
$Ker(f-lambdaid)=V_(lambda)$ ti dice niente?
mmmm no. Ho bisogno di un aiutino please.
"cooper":
corretto anche se non capisco perchè ci metti lo zero. per definizione il vettore nullo non è autovettore e quindi direi che non appartiene all'autospazio.
negli appunti presi dalla "copisteria" vedo scritto:
l'insieme degli autovettori relativi ad un autovalore $\lambda$ e dello zero, verrà chiamato autospazio di $\lambda$.
"cooper":
la dimensione di un qualunque sottospazio (ed un autospazio lo è - prova magari a dimostrarlo) è per definizione la cardinalità di una sua base. e quindi per determinare la dimensione dell'autospazio ne calcoli la base (che sarà formata dagli autovettori di un determinato autovalore) e conti quanti sono.
OK potresti farmi un esempio di calcolo dim. autospazio possibilmente riferito agli esempi che avevo riportato.
Grazie
"cooper":
a parte il fatto che credo intendessi autovettore
vero! Intendevo autovettore
"cooper":
devi vedere per ogni autovalore. la molteplicità è infatti qualcosa che riguarda gli autovalori e non gli autovettori.
Si scusami volevo dire per ogni autovalore, ho sbagliato a scrivere.
"zio_mangrovia":
l'insieme degli autovettori relativi ad un autovalore λ e dello zero, verrà chiamato autospazio di λ.
non capisco la frase allora oppure (probabile) c'è qualcosa che mi sfugge/non sto considerando
per la dimensione: sia per $lambda=1$ sia per $lambda=3$ la dimensione è uno, c'è un solo autovettore. te la faccio adesso una richiesta: come calcoli la dimensione del nucleo (vedi anche post precedente al mio)?
un'ultima osservazione: se l'autovalore ha dimensione 1 è inutile, a meno che non serva esplicitamente calcolare l'autovettore, andare a calcolare l'autospazio. c'è infatti una comodissima catena di disuguaglianze che aiuta: qual è? e perchè quindi non serve calcolare l'autospazio?
"cooper":
per la dimensione: sia per $lambda=1$ sia per $lambda=3$ la dimensione è uno, c'è un solo autovettore. te la faccio adesso una richiesta: come calcoli la dimensione del nucleo (vedi anche post precedente al mio)?
qua mi mettete in crisi... e la formula prima citata $Ker(f−\lambdaId)=V_\lambda$ non la comprendo, forse mi manca un piccolo mattoncino!
Noto comunque dagli stupendi appunti del sito che posso calcolare la dimensione dell'autospazio considerando la formula:
$(m_g)(\lambda)=n-rango(A-\lambdaId)$
"cooper":
un'ultima osservazione: se l'autovalore ha dimensione 1 è inutile, a meno che non serva esplicitamente calcolare l'autovettore, andare a calcolare l'autospazio. c'è infatti una comodissima catena di disuguaglianze che aiuta: qual è? e perchè quindi non serve calcolare l'autospazio?
Se l'autovalore ha dimensione uno applico questo teorema:
La molteplicità geometrica di un autovalore è minore o uguale alla molteplicità algebrica dello stesso e sarà al minimo uno.
Quindi l'autospazio avrà senz'altro dimensione uno, corretto?
l'autospazio è per definizione il nucleo di quell'applicazione tra parentesi, oppure con la matrice rappresentativa $Ker(A_f - lambda_i I)$. quando vai a calcolare gli autovettori (in pratica quindi calcoli l'autospazio) non risolvi mica il sistema $A_f vecv =vec0$? e quando calcoli la base del nucleo non fai lo stesso?
il rango che compare è esattamente il rango del sistema che ti ho scritto qui.
faccio un esempio pratico:
immagina di avere autovalore $lambda = 1$ e una matrice rappresentativa:
$A := ( ( 3 , 2 , 0 ),( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
per trovare $V_1$ risolvi $(A-1*I_3) ((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ dove $I_3$ è la matrice identità di $RR^3$
ti accorgerai che troverai che un generico vettore di $V_1$ ha la forma (-y,y,z) e quindi qual è una sua base?
il rango che compare è esattamente il rango del sistema che ti ho scritto qui.
faccio un esempio pratico:
immagina di avere autovalore $lambda = 1$ e una matrice rappresentativa:
$A := ( ( 3 , 2 , 0 ),( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
per trovare $V_1$ risolvi $(A-1*I_3) ((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ dove $I_3$ è la matrice identità di $RR^3$
ti accorgerai che troverai che un generico vettore di $V_1$ ha la forma (-y,y,z) e quindi qual è una sua base?
"zio_mangrovia":
Se l'autovalore ha dimensione uno applico questo teorema:
La molteplicità geometrica di un autovalore è minore o uguale alla molteplicità algebrica dello stesso e sarà al minimo uno.
Quindi l'autospazio avrà senz'altro dimensione uno, corretto?
la sua base dovrebbe essere $<(-1,1,0),(0,0,1)>$, corretto?
giusto. e cosa rappresentano quei due vettori? e quindi la dimensione di $V_1$ cos'è?
"cooper":
giusto. e cosa rappresentano quei due vettori? e quindi la dimensione di $V_1$ cos'è?
Ho capito! I due vettori rappresentano una base del generico vettore $V_1$, la dimensione di $V_1$ è 2 in quanto la base è costituita da due vettori.
esatto! quei due vettori comunque non sono vettori qualunque ma sono proprio gli autovettori relativi all'autovalore $lambda = 1$
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