Determinare due rette parallele ad una retta data

[uanema]

Ciao a tutti gli utenti del forum, vi scrivo perchè sono "impantanato" in un esercizio che non mi sta lasciando pace...
Vi scrivo il testo:
Data la retta $r$= $\{(x+y+z=0) ,(2x-y-z=1 ):}$ determinare due rette distinte parallele a r ed incidenti la retta $s$=$\{(x=t),(y=t+1),(z=2t):}$.
Io ho ragionato così:
ho portato la retta r in equazioni parametriche ed ho ottenuto r=$\{(x=1/3),(y=-t-1/3),(z=t):}$ dopo ho iniziato a ragionare sulle due rette parallele e qui sorge il mio primo dubbio: io ho scelto come due generiche rette parallele ad r le rette r1=$\{(x=a_0),(y=-t+b_0),(z=t+c_0):}$ r2=$\{(x=a_0),(y=-kt+b_0),(z=kt+c_0):}$ in modo che entrambe siano proporzionali al vettore di direzione di r $-j+k$. Ammesso che il mio discorso fino a questo momento fili liscio qualcuno mi saprebbe indicare come fare a soddisfare la condizione che le due rette trovate siano incidenti ad s.
Ringrazio in anticpo a chi mi fornirà aiuto.

[Geppo2]

A mio avviso le rette r1 e r2 coincidono in quanto passano per lo stesso punto $P(x_0,y_0,z_0)$ ed hanno lo "stesso" vettore direzionale. Per avere rette diverse devi variare il punto $P$. Ora chiediamoci quali condizioni deve avere un punto $P(a,b,c)$ per cui la retta $\{(x=a),(y=b-t),(z=c+t):}$ sia incidente alla retta $s$. Se mettiamo $s$ in forma cartesiana si ha $\{(y=x+1),(z=2x):}$, per cui dovrà essere $\{(b-t=a+1),(c+t=2a):}$, da cui $b+c=3a+1$. Sceglendo a piacere una terna di valori cosiffatta, avrai una retta che soddisfa alle condizioni richieste.

[uanema]

grazie mille geppo sei stato gentilissimo. Effettivamente il mio dubbio riguardava il fatto che così come esprimevo le rette non sapevo come fare per differenziarle l'una dall'altra. Grazie ancora per la tua disponibilità.