Determinare dimensione e base di sottospazi vettoriali
Salve ragazzi, come potrei procedere per svolgere questo esercizio? Mi servirebbe un procedimento abbastanza pratico e veloce.
Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di $RR^3[x]$:
$U ={ p in RR^3[x] | p(0) = p(1) = 0}$; $V = <1 + kx; x + kx^3>; k in RR$.
(a) Determinare la dimensione e una base di $U$.
(b) Determinare, al variare del parametro reale k, la dimensione e una base degli
spazi vettoriali$ V$ , $U nn V$ , $U + V$ .
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di $RR^3[x]$:
$U ={ p in RR^3[x] | p(0) = p(1) = 0}$; $V = <1 + kx; x + kx^3>; k in RR$.
(a) Determinare la dimensione e una base di $U$.
(b) Determinare, al variare del parametro reale k, la dimensione e una base degli
spazi vettoriali$ V$ , $U nn V$ , $U + V$ .
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Risposte
Ciao luciavirgi 
Per quanto riguarda il primo punto l'ho svolto così: un generico polinomio di $ R_3[x] $ si può scrivere come $ p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 $. Se imponi le condizioni $ p(0)=0->a_0=0 $ e $ p(1)=0->a_1=-a_2-a_3 $, hai che i vettori del sottospazio sono tutti quelli che si scrivono come $ p(x)=(-a_2-a_3)x+a_2x^2+a_3x^3 $. La dimensione di $ U $ quindi è 2 e una base è $ { -x+x^2, -x+x^3 } $.
La seconda parte provo a risolverla dopo.
Ciao
Per quanto riguarda il primo punto l'ho svolto così: un generico polinomio di $ R_3[x] $ si può scrivere come $ p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 $. Se imponi le condizioni $ p(0)=0->a_0=0 $ e $ p(1)=0->a_1=-a_2-a_3 $, hai che i vettori del sottospazio sono tutti quelli che si scrivono come $ p(x)=(-a_2-a_3)x+a_2x^2+a_3x^3 $. La dimensione di $ U $ quindi è 2 e una base è $ { -x+x^2, -x+x^3 } $.
La seconda parte provo a risolverla dopo.
Ciao
Perfetto. Ti ringrazio
Riguardo a \(V\) hai che \(p(x) = a(1 + kx) + b(x+kx^3) = a + (ak + b)x + (a + bk)x^3 \). La dimensione è uguale a due perché i due polinomi sono indipendenti per ogni \(k\) (\(p \equiv 0\) se e solo se \(a=b=0\) qualsiasi sia \(k\)).
Per l'intersezione dovresti ragionare su cosa succede ai coefficienti del termine costante e di \(x^2\).
Per la somma direi che puoi usare la formula di Grassman se l'hai fatta. Altrimenti devi ragionarci sopra.
Per l'intersezione dovresti ragionare su cosa succede ai coefficienti del termine costante e di \(x^2\).
Per la somma direi che puoi usare la formula di Grassman se l'hai fatta. Altrimenti devi ragionarci sopra.
Ciao luciavirgi
Anche a me torna che $ V $ abbia sempre dimensione 2 indipendentemente dal parametro. Se fai le equazioni cartesiane di $ V $ ottieni $ { ( z=0 ),( k^2x-ky+t=0 ):} $ . Vedi che comunque prendi $ k $ hai sempre 2 parametri liberi.
Per quanto riguarda l'intersezione ho trovato l'equazione cartesiana di $ U:{ ( x=0 ),( y+z+t=0 ):} $ . Se le metti in un unico sistema con le altre ottieni che $ { ( x=0 ),( y=-t ),( y=t/k ),( z=0 ):}rArr -t=t/k $ . Ora se $ k=-1 $ ottieni che $ t $ è un parametro libero e l'intersezione ha dimensione 1. Altrimenti se $ k!=-1 $ ottieni che nell'intersezione c'è solo $ 0_v $.
Per la somma ho fatto così:
1)ricavi una base di entrambi gli spazi come per esempio di $ U $ ho scelto $ (0,-1,1,0),(0,-1,0,1) $ e di $ V $: $(1,k,0,0),(0,1,0,k) $.
2)Metti i vettori i una matrice e calcoli il determinante che ti verrà $ k+1 $. Ora se $ k!=-1 $ il determinante è diverso da 0 e quindi i tuoi vettori sono una base di $ R_3[x] $ mentre se $ k=-1 $ sostituisci nella matrice, riduci con Gauss e vedi che la dimensione della somma è 3.
Se vuoi puoi provare a vedere se le stesse cose ti tornano con la formula di Grassmann( devi considerare il fatto che $ k=-1v k!=-1 $ c' era anche nella discussione dell'intersezione.
Se non ti è chiaro qualcosa scrivimi.
Ciao!
Anche a me torna che $ V $ abbia sempre dimensione 2 indipendentemente dal parametro. Se fai le equazioni cartesiane di $ V $ ottieni $ { ( z=0 ),( k^2x-ky+t=0 ):} $ . Vedi che comunque prendi $ k $ hai sempre 2 parametri liberi.
Per quanto riguarda l'intersezione ho trovato l'equazione cartesiana di $ U:{ ( x=0 ),( y+z+t=0 ):} $ . Se le metti in un unico sistema con le altre ottieni che $ { ( x=0 ),( y=-t ),( y=t/k ),( z=0 ):}rArr -t=t/k $ . Ora se $ k=-1 $ ottieni che $ t $ è un parametro libero e l'intersezione ha dimensione 1. Altrimenti se $ k!=-1 $ ottieni che nell'intersezione c'è solo $ 0_v $.
Per la somma ho fatto così:
1)ricavi una base di entrambi gli spazi come per esempio di $ U $ ho scelto $ (0,-1,1,0),(0,-1,0,1) $ e di $ V $: $(1,k,0,0),(0,1,0,k) $.
2)Metti i vettori i una matrice e calcoli il determinante che ti verrà $ k+1 $. Ora se $ k!=-1 $ il determinante è diverso da 0 e quindi i tuoi vettori sono una base di $ R_3[x] $ mentre se $ k=-1 $ sostituisci nella matrice, riduci con Gauss e vedi che la dimensione della somma è 3.
Se vuoi puoi provare a vedere se le stesse cose ti tornano con la formula di Grassmann( devi considerare il fatto che $ k=-1v k!=-1 $ c' era anche nella discussione dell'intersezione.
Se non ti è chiaro qualcosa scrivimi.
Ciao!
Per l'intersezione si può anche fare così.
Per prima cosa risulta banalmente \(\displaystyle \dim(U\cap V) \le 2 = \dim(U) = \dim(V) \). Siccome, come ha mostrato Peter Pan, l'elemento generico di \(\displaystyle U \) è \(p = (-a_2-a_3)x + a_2x^2 + a_3x^3 \) mentre quello di \(V\) è \( q = b_1 + (b_1k + b_2)x + (b_1 + b_2k)x^3 \) basta imporre \(\displaystyle p - q \equiv 0 \).
In altre parole si deve avere
\(\displaystyle \begin{align} 0 &\equiv (-a_2-a_3)x + a_2x^2 + a_3x^3 - b_1 - (b_1k + b_2)x - (b_1 + b_2k)x^3 \\
&\equiv -b_1 - (a_2+a_3+b_1k + b_2)x + a_2x^2 +(a_3 -b_1 - b_2k)x^3 \\
\end{align} \)
ma allora necessariamente \(\displaystyle b_1 = a_2 = 0 \). Ricaviamo pertanto che
\(\displaystyle \begin{align} 0 &\equiv - (a_3 + b_2)x +(a_3 - b_2k)x^3 \\
\end{align} \)
cioé
\(\displaystyle \begin{cases} a_3 = -b_2 \\ a_3 = kb_2 \end{cases} \)
che è vero solo per \(\displaystyle k = -1 \)
Per prima cosa risulta banalmente \(\displaystyle \dim(U\cap V) \le 2 = \dim(U) = \dim(V) \). Siccome, come ha mostrato Peter Pan, l'elemento generico di \(\displaystyle U \) è \(p = (-a_2-a_3)x + a_2x^2 + a_3x^3 \) mentre quello di \(V\) è \( q = b_1 + (b_1k + b_2)x + (b_1 + b_2k)x^3 \) basta imporre \(\displaystyle p - q \equiv 0 \).
In altre parole si deve avere
\(\displaystyle \begin{align} 0 &\equiv (-a_2-a_3)x + a_2x^2 + a_3x^3 - b_1 - (b_1k + b_2)x - (b_1 + b_2k)x^3 \\
&\equiv -b_1 - (a_2+a_3+b_1k + b_2)x + a_2x^2 +(a_3 -b_1 - b_2k)x^3 \\
\end{align} \)
ma allora necessariamente \(\displaystyle b_1 = a_2 = 0 \). Ricaviamo pertanto che
\(\displaystyle \begin{align} 0 &\equiv - (a_3 + b_2)x +(a_3 - b_2k)x^3 \\
\end{align} \)
cioé
\(\displaystyle \begin{cases} a_3 = -b_2 \\ a_3 = kb_2 \end{cases} \)
che è vero solo per \(\displaystyle k = -1 \)
Vi ringrazio infinitamente.
Avrei un'altra domanda per Peter Pan. Come ottengo le equazioni cartesiane di $V$?
Avrei un'altra domanda per Peter Pan. Come ottengo le equazioni cartesiane di $V$?
E come scelgo le basi di $U$ e $V$?
Ciao luciavirgi
Le equazioni cartesiane di un sottospazio vettoriale si ottengono sempre nel solito modo. Fissata una base del sottospazio, devi mettere i vettori di base come colonne di una matrice e come ultima colonna, un vettore incognito. In questo modo stai risolvendo un sistema in cui hai come coefficienti i termini della matrice e come colonna dei termini noti quella con il vettore incognito. Il sistema sta ad indicare che un generico vettore di $ R^n $ apparterrà al sottospazio $ lArrrArr $si può scrivere come combinazione dei vettori di base. Riducendo la matrice con Gauss avrai delle righe che si annullano e nell'ultima colonna ci saranno delle combinazioni tra le coordinate del vettore incognito. Le combinazioni che si trovano su una riga tutta nulla sono equazioni del sottospazio.
Per ricavare una base di $ U,V $ ho fatto così: prendi il generico vettore di $ U $ che è $ p(x)=(-a_2-a_3)x+a_2x^2+a_3x^3 $ e fissa due valori per $ a_2,a_3 $(in genere si prende $ a_2=1,a_3=0 $ e $ a_2=0,a_3=1 $). Allo stesso modo per $ V $.
Dato che poi dovevo lavorare con una matrice, ho sfruttato il fatto che $ R^3[x] $ è isomorfo a $ R^4 $ e che una base di $ U $ scritta in termini di vettori di $ R^4 $ è $ (0,-1,1,0),(0,-1,0,1) $.
Le equazioni cartesiane di un sottospazio vettoriale si ottengono sempre nel solito modo. Fissata una base del sottospazio, devi mettere i vettori di base come colonne di una matrice e come ultima colonna, un vettore incognito. In questo modo stai risolvendo un sistema in cui hai come coefficienti i termini della matrice e come colonna dei termini noti quella con il vettore incognito. Il sistema sta ad indicare che un generico vettore di $ R^n $ apparterrà al sottospazio $ lArrrArr $si può scrivere come combinazione dei vettori di base. Riducendo la matrice con Gauss avrai delle righe che si annullano e nell'ultima colonna ci saranno delle combinazioni tra le coordinate del vettore incognito. Le combinazioni che si trovano su una riga tutta nulla sono equazioni del sottospazio.
Per ricavare una base di $ U,V $ ho fatto così: prendi il generico vettore di $ U $ che è $ p(x)=(-a_2-a_3)x+a_2x^2+a_3x^3 $ e fissa due valori per $ a_2,a_3 $(in genere si prende $ a_2=1,a_3=0 $ e $ a_2=0,a_3=1 $). Allo stesso modo per $ V $.
Dato che poi dovevo lavorare con una matrice, ho sfruttato il fatto che $ R^3[x] $ è isomorfo a $ R^4 $ e che una base di $ U $ scritta in termini di vettori di $ R^4 $ è $ (0,-1,1,0),(0,-1,0,1) $.
Potresti farmi un esempio pratico con $V$?
Allora $ V=<1+kx,x+kx^3> $. Una base di $ V $ per $ k!=0 $ è $ {1+kx,x+kx^3 } $. Adesso se vuoi le equazioni cartesiane metti quei due polinomi come due vettori di $ R^4 $ utilizzando l'isomorfismo che c'è tra i due spazi(dato che ogni volta che fissi per esempio la base $ 1,x,x^2,x^3 $ hai un vettore di $ R^4 $). Quindi hai $ (1,k,0,0),(0,1,0,k) $. Ora crei la matrice $ ( ( 1 , 0 , x ),( k , 1 , y ),( 0 , 0 , z ),( 0 , k , t ) ) $ con $ (x,y,z,t) $ generico vettore di $ R^4 $. Riduci con Gauss e vedrai che 2 righe diventano tutte 0. Per esempio una c'è di già( la terza). Quindi una prima equazione sarà
$ z=0 $ (non ci sono mai termini in x^2).
$ z=0 $ (non ci sono mai termini in x^2).
Mi è già più chiaro.
Ma ora riducendo con Gauss non riesco a ritrovarmi con il tuo risultato. Ad esempio non riesco a capire proprio come possa venire fuori un $k^2$ .. Mi sento un rimbambito oggi
Ma ora riducendo con Gauss non riesco a ritrovarmi con il tuo risultato. Ad esempio non riesco a capire proprio come possa venire fuori un $k^2$ .. Mi sento un rimbambito oggi
Ciao
Allora ho la matrice $ ( ( 1 , 0 , x ),( k , 1 , y ),( 0 , 0 , z ),( 0 , k , t ) ) $ . Faccio la seconda riga meno k volte la prima e ottengo $ ( ( 1 , 0 , x ),( 0 , 1 , y-kx ),( 0 , 0 , z ),( 0 , k , t ) ) $ . Poi scambio la terza con la seconda $ ( ( 1 , 0 , x ),( 0 , 1 , y-kx ),( 0 , k , t ),( 0 , 0 , z ) ) $ e faccio la terza meno k la seconda. Alla fine hai $ ( ( 1 , 0 , x ),( 0 , 1 , y-kx ),( 0 , 0 , t-ky+k^2x ),( 0 , 0 , z ) ) $. Affinchè il vettore appartenga, deve essere vero che $ { ( t-ky+k^2x=0 ),( z=0 ):} $ che sono le equazioni cartesiane. Per verificarne la correttezza prova a metterci 2 qualsiasi vettori di $ V $ e vedi che rispettino le relazioni.
p.s. a me mi capita spesso di sentirmi un rimbambito
Allora ho la matrice $ ( ( 1 , 0 , x ),( k , 1 , y ),( 0 , 0 , z ),( 0 , k , t ) ) $ . Faccio la seconda riga meno k volte la prima e ottengo $ ( ( 1 , 0 , x ),( 0 , 1 , y-kx ),( 0 , 0 , z ),( 0 , k , t ) ) $ . Poi scambio la terza con la seconda $ ( ( 1 , 0 , x ),( 0 , 1 , y-kx ),( 0 , k , t ),( 0 , 0 , z ) ) $ e faccio la terza meno k la seconda. Alla fine hai $ ( ( 1 , 0 , x ),( 0 , 1 , y-kx ),( 0 , 0 , t-ky+k^2x ),( 0 , 0 , z ) ) $. Affinchè il vettore appartenga, deve essere vero che $ { ( t-ky+k^2x=0 ),( z=0 ):} $ che sono le equazioni cartesiane. Per verificarne la correttezza prova a metterci 2 qualsiasi vettori di $ V $ e vedi che rispettino le relazioni.
p.s. a me mi capita spesso di sentirmi un rimbambito
Finalmente mi è tutto chiaro. Grazie infinite
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