Determinare coordinate vettore rispetto base
Ciao a tutti, sto provando a fare questo esercizio:
Sapendo che rispetto alla base B dello spazio vettoriale $ V= Q^3 $ risulta:
$ v_1 = ( +2,+1,-2) -= [+1,+1,+1]_B $
$ v_2 = ( +1,-2,-2) -= [+2,-1,-1]_B $
$ v_3 = ( +1,+1,+1) -= [+2,+1,-1]_B $
determinare coordinate di $ w = (+2,+2,+1) $ rispetto alla base $ B $ .
Questo è il tipico problema in cui bisogna risolvere un sistema con diverse incognite ( a,b,c,d,.... ) ma non so come impostarlo in questo caso, sapete aiutarmi?
Se dovesse servire ho anche il risultato : $ w -= [+3,+17/9,-1]_B $ . Grazie.
Sapendo che rispetto alla base B dello spazio vettoriale $ V= Q^3 $ risulta:
$ v_1 = ( +2,+1,-2) -= [+1,+1,+1]_B $
$ v_2 = ( +1,-2,-2) -= [+2,-1,-1]_B $
$ v_3 = ( +1,+1,+1) -= [+2,+1,-1]_B $
determinare coordinate di $ w = (+2,+2,+1) $ rispetto alla base $ B $ .
Questo è il tipico problema in cui bisogna risolvere un sistema con diverse incognite ( a,b,c,d,.... ) ma non so come impostarlo in questo caso, sapete aiutarmi?
Se dovesse servire ho anche il risultato : $ w -= [+3,+17/9,-1]_B $ . Grazie.
Risposte
Poni:
\(\displaystyle (2,2,1)=a(2,1,-2)+b(1,-2,-2)+c(1,1,1)=(2a+b+c,a-2b+c,-2a-2b+c) \)
Hai quindi il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}2a+b+c=2\\a-2b+c=2 \\-2a-2b+c=1\end{cases}\)
Da cui tiri fuori la soluzione :
\(\displaystyle \begin{cases}a= \frac{1}{3} \\b= -\frac{1}{9} \\c= \frac{13}{9} \end{cases}\)
E quindi avrai :
\(\displaystyle (2,2,1)= \frac{1}{3} (2,1,-2)-\frac{1}{9}(1,-2,-2)+\frac{13}{9} (1,1,1) \)
Passa ora alla base B:
\(\displaystyle (2,2,1)_B= \frac{1}{3} (1,1,1)-\frac{1}{9}(2,-1,-1)+\frac{13}{9} (2,1,-1) \)
Fai i calcoli ed ottieni:
\(\displaystyle (2,2,1)_B= ( \frac{1}{3}-\frac{2}{9}+\frac{26}{9} ,\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{13}{9},\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{13}{9})=(3,\frac{17}{9},-1) \)
\(\displaystyle (2,2,1)=a(2,1,-2)+b(1,-2,-2)+c(1,1,1)=(2a+b+c,a-2b+c,-2a-2b+c) \)
Hai quindi il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}2a+b+c=2\\a-2b+c=2 \\-2a-2b+c=1\end{cases}\)
Da cui tiri fuori la soluzione :
\(\displaystyle \begin{cases}a= \frac{1}{3} \\b= -\frac{1}{9} \\c= \frac{13}{9} \end{cases}\)
E quindi avrai :
\(\displaystyle (2,2,1)= \frac{1}{3} (2,1,-2)-\frac{1}{9}(1,-2,-2)+\frac{13}{9} (1,1,1) \)
Passa ora alla base B:
\(\displaystyle (2,2,1)_B= \frac{1}{3} (1,1,1)-\frac{1}{9}(2,-1,-1)+\frac{13}{9} (2,1,-1) \)
Fai i calcoli ed ottieni:
\(\displaystyle (2,2,1)_B= ( \frac{1}{3}-\frac{2}{9}+\frac{26}{9} ,\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{13}{9},\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{13}{9})=(3,\frac{17}{9},-1) \)
Oppure puoi sempre utilizzare il procedimento più lungo:
La Base di uno spazio tridimensionale ha forma generale: ${(x,y,z),(x',y',z'),(x'',y'',z'')}$.
Sfruttando l'unicità delle componenti,risolvi e trovi la base:
${(x+x'+x''=2),(2x-x'-x''=1),(2x+x'-x''=1):}$ ${(y+y'+y''=1),(2y-y'-y''=-2),(2y+y'-y''=1):}$ ${(z+z'+z''=-2),(2z-z'-z''=-2),(2z+z'-z''=1):}$
${(x=1),(x'=0),(x''=1):}$ ${(y=-1/3),(y'=3/2),(y''=-1/6):}$ ${(z=-4/3),(z'=3/2),(z''=-13/6):}$
Dunque risolvi quest'altro sistema e trovi le componenti del vettore:
${(\alpha+\gamma=2),(-\alpha/3+3\beta/2-\gamma/6=2),(-4\alpha/3+3\beta/2-13\gamma/6=1):}$
e trovi: $(\alpha=3,\beta=17/9,\gamma=-1)$
La Base di uno spazio tridimensionale ha forma generale: ${(x,y,z),(x',y',z'),(x'',y'',z'')}$.
Sfruttando l'unicità delle componenti,risolvi e trovi la base:
${(x+x'+x''=2),(2x-x'-x''=1),(2x+x'-x''=1):}$ ${(y+y'+y''=1),(2y-y'-y''=-2),(2y+y'-y''=1):}$ ${(z+z'+z''=-2),(2z-z'-z''=-2),(2z+z'-z''=1):}$
${(x=1),(x'=0),(x''=1):}$ ${(y=-1/3),(y'=3/2),(y''=-1/6):}$ ${(z=-4/3),(z'=3/2),(z''=-13/6):}$
Dunque risolvi quest'altro sistema e trovi le componenti del vettore:
${(\alpha+\gamma=2),(-\alpha/3+3\beta/2-\gamma/6=2),(-4\alpha/3+3\beta/2-13\gamma/6=1):}$
e trovi: $(\alpha=3,\beta=17/9,\gamma=-1)$
Grazie mille!! Siete stati chiarissimi!!
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