Determinare controimmagine spazi vettoriali
Si consideri l'applicazione $ RR^3 -> RR ^2,^2 $
definita come
g (( x1,x2,x3)) = $ ( ( x1-x2+x3 , x2 ),( x2 , x1-2x3 ) ) $ ;
Dovrei determinare la controimmagine dei seguenti sottospazi vettoriali di $ RR ^2,^2 $ :
$ S ( RR ^2,^2) $ definito come lo spazio delle matrici simmetriche e di $ A ( RR ^2,^2) $ definito come lo spazio delle matrici antisimmetriche;
ho provato a risolvere il primo quesito risolvendo questo sistema :
y2 = x2
y3 = x3
però trovo come risultato che la controimmagine ,per come è definita l'applicazione lineare g è $ RR ^3 $ ;
mentre la seconda soluzione , molto criptica per me , è questa
$ g^-1 (A (RR ^2,^2))=g^-1(A (RR ^2,^2) nn im g )=g^-1({0})=ker g 0 = {(0,0,0)} $
potete spiegarmi cosa significa? sulla teoria non trovo nulla di simile
Grazie in anticipo
definita come
g (( x1,x2,x3)) = $ ( ( x1-x2+x3 , x2 ),( x2 , x1-2x3 ) ) $ ;
Dovrei determinare la controimmagine dei seguenti sottospazi vettoriali di $ RR ^2,^2 $ :
$ S ( RR ^2,^2) $ definito come lo spazio delle matrici simmetriche e di $ A ( RR ^2,^2) $ definito come lo spazio delle matrici antisimmetriche;
ho provato a risolvere il primo quesito risolvendo questo sistema :
y2 = x2
y3 = x3
però trovo come risultato che la controimmagine ,per come è definita l'applicazione lineare g è $ RR ^3 $ ;
mentre la seconda soluzione , molto criptica per me , è questa
$ g^-1 (A (RR ^2,^2))=g^-1(A (RR ^2,^2) nn im g )=g^-1({0})=ker g 0 = {(0,0,0)} $
potete spiegarmi cosa significa? sulla teoria non trovo nulla di simile
Grazie in anticipo
Risposte
Per determinare l'insieme anti-immagine di [tex]$S(\mathbb{R}_2^2)$[/tex] mediante [tex]$g$[/tex] devi determinare quali vettori [tex]$(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3\mid x_2=x_2$[/tex], per cui è [tex]$g^{-1}(S(\mathbb{R}_2^2))=\mathbb{R}^3$[/tex]; concordi? 
Per quanto riguarda l'insieme anti-immagine di [tex]$A(\mathbb{R}_2^2)$[/tex] mediante [tex]$g$[/tex]: chi sarebbe [tex]$x_4$[/tex]? -_-
Per quanto riguarda l'insieme anti-immagine di [tex]$A(\mathbb{R}_2^2)$[/tex] mediante [tex]$g$[/tex]: chi sarebbe [tex]$x_4$[/tex]? -_-
Ho corretto il posto ;
concordo in parte con ciò che hai scritto! hai ragione tu ma voglio capire il perchè :
in poche parole noi stiamo considerando la matrice " inversa " dell'applicazione che ,definito un sottospazio ( in questo caso quello delle matrici simmetriche ,mi permette di scrivere l'immagine come combinazione lineare di vettori appartenenti al dominio. Correggimi, per favore ,se sbaglio.
se definisco S in questo modo $ S = {( ( x1 , x2 ),( x3 , x4 ) ) t.c. x2=x3} $
posso definire la controimmagine in questo modo ?
y2 = x2
y3 = x3
P.S .: ho corretto il post , puoi darmi un consiglio anche per il secondo quesito?
concordo in parte con ciò che hai scritto! hai ragione tu ma voglio capire il perchè :
in poche parole noi stiamo considerando la matrice " inversa " dell'applicazione che ,definito un sottospazio ( in questo caso quello delle matrici simmetriche ,mi permette di scrivere l'immagine come combinazione lineare di vettori appartenenti al dominio. Correggimi, per favore ,se sbaglio.
se definisco S in questo modo $ S = {( ( x1 , x2 ),( x3 , x4 ) ) t.c. x2=x3} $
posso definire la controimmagine in questo modo ?
y2 = x2
y3 = x3
P.S .: ho corretto il post , puoi darmi un consiglio anche per il secondo quesito?
Chi sarebbero le [tex]$y_k$[/tex]? 
Per determinare l'anti-immagine devi imporre che l'immagine del generico vettore mediante [tex]$g$[/tex] sia una matrice simmetrica; come vedi accade sempre!
Sul secondo punto attendo che ti sia chiaro il primo; oppure, se tu avessi capito il primo potresti proporre tu stesso una via risolutiva!
Per determinare l'anti-immagine devi imporre che l'immagine del generico vettore mediante [tex]$g$[/tex] sia una matrice simmetrica; come vedi accade sempre!
Sul secondo punto attendo che ti sia chiaro il primo; oppure, se tu avessi capito il primo potresti proporre tu stesso una via risolutiva!
"j18eos":
Chi sarebbero le [tex]$y_k$[/tex]?
Per determinare l'anti-immagine devi imporre che l'immagine del generico vettore mediante [tex]$g$[/tex] sia una matrice simmetrica; come vedi accade sempre!
Sul secondo punto attendo che ti sia chiaro il primo; oppure, se tu avessi capito il primo potresti proporre tu stesso una via risolutiva!
allora se determino S in questo modo :
$ S={( ( y1 , y2 ),( y3 , y4 ) ) t.c. y2=y3} $
e pongo
y2 = x2
y3 = x3
così va bene?
sul mio libro c'è scritto che si può risolvere il sistema sostituendo nell'equazione del sottospazio ( S nel nostro caso) le equazioni di f ( ne nostro caso definita con g )
perchè hai scritto che bisogna deginire tre vettori tali che x2 = x2?
non sto capendo molto ...
Poiché tu consideri le matrici simmetriche di ordine 2 devono esse [tex]$a_{12}=a_{21}$[/tex]; fin qui chiaro?
Nel tuo caso, nelle matrici immagini mediante [tex]$g$[/tex] tali elementi coincidono semplicemente con [tex]$x_2$[/tex] per cui non c'è nulla da dimostrare se non che tutte le matrici immagini mediante [tex]$g$[/tex] sono simmetriche.
Il tuo metodo mi sembra un "non-metodo" in quanto non né vedo la logica di fondo.
Nel tuo caso, nelle matrici immagini mediante [tex]$g$[/tex] tali elementi coincidono semplicemente con [tex]$x_2$[/tex] per cui non c'è nulla da dimostrare se non che tutte le matrici immagini mediante [tex]$g$[/tex] sono simmetriche.
Il tuo metodo mi sembra un "non-metodo" in quanto non né vedo la logica di fondo.
il primo punto è chiaro ma ancora non riesco ad afferrare il concetto .
puoi farmi qlc esempio più semplice.
chiedo troppo e mi scuso ma l'esame è quasi arrivato ; mi servirebbe più di un miracolo
puoi farmi qlc esempio più semplice.
chiedo troppo e mi scuso ma l'esame è quasi arrivato ; mi servirebbe più di un miracolo
Ti risulta che [tex]$g$[/tex] ad ogni vettore [tex]$(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3$[/tex] associa una matrice quadrata di ordine 2 in cui [tex]$x_2=a_{12};\,x_2=a_{21}$[/tex], ovvero tale matrice è simmetrica quindi ogni vettore di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] mediante [tex]$g$[/tex] ha immagine in [tex]$S(\mathbb{R}_2^2)$[/tex]; per definizione si ha che l'anti-immagine di [tex]$S(\mathbb{R}_2^2)$[/tex] mediante [tex]$g$[/tex] è [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex].
Il tuo esercizio è l'esempio che volevi!?
OUT OF SELF: Questo è il mio millesimo messaggio
Il tuo esercizio è l'esempio che volevi!?
OUT OF SELF: Questo è il mio millesimo messaggio
"j18eos":
Ti risulta che [tex]$g$[/tex] ad ogni vettore [tex]$(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3$[/tex] associa una matrice quadrata di ordine 2 in cui [tex]$x_2=a_{12};\,x_2=a_{21}$[/tex], ovvero tale matrice è simmetrica quindi ogni vettore di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] mediante [tex]$g$[/tex] ha immagine in [tex]$S(\mathbb{R}_2^2)$[/tex]; per definizione si ha che l'anti-immagine di [tex]$S(\mathbb{R}_2^2)$[/tex] mediante [tex]$g$[/tex] è [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex].
Il tuo esercizio è l'esempio che volevi!?
si si , tenterò d igeneralizzare ;
vado a studiarmelo meglio ... magari mi spieghi il secondo esercizio non appena avrò le idee più chiare
Ok, aspetteremo io od un altro utente ti risponderà!
Credo di aver capito ...
l'esercizio mi chiede di determinare un'altra controimmagine definita da $ H={( ( a , 0 ),( 0 , -2a ) ) | a in RR } $
in questo caso ho risolto questo sistema
x2 = 0
x1 +x3 = a
x1 - 2x3 = -2a
ed ottengo che
x1 = 0
x3 = a
quindi la controimmagine di H è Span ( 0,0 ,a ) ; sul testo è riportato Span ( 0,0,1) , immagino perchè è stato sostituito a con 1 .
adesso provo a risolvere quello delle matrici anti-simmetriche
ancora grazie
l'esercizio mi chiede di determinare un'altra controimmagine definita da $ H={( ( a , 0 ),( 0 , -2a ) ) | a in RR } $
in questo caso ho risolto questo sistema
x2 = 0
x1 +x3 = a
x1 - 2x3 = -2a
ed ottengo che
x1 = 0
x3 = a
quindi la controimmagine di H è Span ( 0,0 ,a ) ; sul testo è riportato Span ( 0,0,1) , immagino perchè è stato sostituito a con 1 .
adesso provo a risolvere quello delle matrici anti-simmetriche
ancora grazie
Prego, di nulla!
Attenzione a non dimenticare di scrivere nella soluzione finale anche [tex]$x_2=0$[/tex] oltre che le condizioni su [tex]$x_1$[/tex] ed [tex]$x_3$[/tex]. Lo span di [tex]$(0;0;a)$[/tex] è lo stesso di [tex]$(0;0;1)$[/tex] a guardar bene.
Attenzione a non dimenticare di scrivere nella soluzione finale anche [tex]$x_2=0$[/tex] oltre che le condizioni su [tex]$x_1$[/tex] ed [tex]$x_3$[/tex]. Lo span di [tex]$(0;0;a)$[/tex] è lo stesso di [tex]$(0;0;1)$[/tex] a guardar bene.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo