Determinare basi e dimensioni di alcuni sottospazi vettoriali. Data una funzione, f, determinare una base di ker(f)
Salve, ragazzi. All'esame di Geometria 1 mi sono capitati questi 2 esercizi. Qualcosa l'ho fatta ma, temo di non averlo passato. Tra pochi giorni ho di nuovo lo scritto e quindi ve ne sarei grato se poteste darmi qualche aiutino.
Il primo esercizio era questo:
1) Sia $U=<(1,2,0,-1),(1,0,0,1),(0,2,-1,0),(0,0,-1,2)>$ e sia $V={(x,y,z,t) in RR^4 | x+y=0 , y+z-t=0}$
a) Determinare dimensione e base di $U$, $V$, $U+V$ e $UnnV$;
b) Trovare un supplementare di $V$ in $RR^4$.
Io ho agito in questo modo: per quanto riguarda la dimensione e la base di $U$, ho messo i vettori che formano $U$ in una matrice e ho calcolato il rango. Essendo il rango diverso da 4, risulta che i vettori solo Lin. Dip. e allora non possono formare una base di $U$. Allora ho provato a mettere in una matrice solamente i primi 3 vettori, il rango mi viene uguale a 3 e quindi i 3 vettori formano una base di $U$. Allora una base di $U$ è $B={(1,2,0,-1),(1,0,0,1),(0,2,-1,0)}$ ed ha dimensione 3.
Per quanto riguarda la base di $V$, ho messo a sistema le 2 equazioni parametriche di $V$ ed ho ottenuto come base $B'={(1,-1,1,0),(-1,1,0,1)}$ di dimensione 2.
Poi, per $U+V$ ho messo in un'unica matrice tutti i vettori della base di $U$ e tutti quelli della base di $V$ e ho agito come con $U$, ottenendo come base $B''={(1,2,0,-1),(1,0,0,1),(0,2,-1,0),(-1,1,0,1)}$ avente dimensione 4.
Ed infine per $UnnV$ ho agito (probabilmente inventando questo metodo) nella maniera seguente. Ho trovato l'equazione parametrica di $U$ mettendo in un'unica matrice tutti i vettori di $B$ con il vettore $((x,y,z,t))$ e riducendo con Gauss ho ottenuto $x-y-2z-t=0$, ho messo questa equazione a sistema con le equazioni parametriche di $V$ e ho ottenuto $B'''={(1,-1,1,0)}$ avente dimensione 1.
Per quanto riguarda il calcolo del supplementare non ho saputo come fare.
L'esercizio 2) era questo:
2) Sia $f(p)=p(1)x^2-p(k)$:
a) Calcolare una base e la dimensione di $ker(f)$ al variare di $k$ in $RR$;
b) dire per quali valori di $k$, $f$ è diagonalizzabile.
Purtroppo per quanto riguarda questo esercizio ho combinato un macello. Il punto b) l'avrei saputo fare se mi fossi trovato la matrice di $f(p)$, ma purtroppo non ne sono stato in grado.
Ve ne sarei grato se poteste dirmi se ho svolto correttamente o meno il punto a) dell'esercizio 1) e se poteste guidarmi nella risoluzioni degli altri punti.
Grazie in anticipo
Il primo esercizio era questo:
1) Sia $U=<(1,2,0,-1),(1,0,0,1),(0,2,-1,0),(0,0,-1,2)>$ e sia $V={(x,y,z,t) in RR^4 | x+y=0 , y+z-t=0}$
a) Determinare dimensione e base di $U$, $V$, $U+V$ e $UnnV$;
b) Trovare un supplementare di $V$ in $RR^4$.
Io ho agito in questo modo: per quanto riguarda la dimensione e la base di $U$, ho messo i vettori che formano $U$ in una matrice e ho calcolato il rango. Essendo il rango diverso da 4, risulta che i vettori solo Lin. Dip. e allora non possono formare una base di $U$. Allora ho provato a mettere in una matrice solamente i primi 3 vettori, il rango mi viene uguale a 3 e quindi i 3 vettori formano una base di $U$. Allora una base di $U$ è $B={(1,2,0,-1),(1,0,0,1),(0,2,-1,0)}$ ed ha dimensione 3.
Per quanto riguarda la base di $V$, ho messo a sistema le 2 equazioni parametriche di $V$ ed ho ottenuto come base $B'={(1,-1,1,0),(-1,1,0,1)}$ di dimensione 2.
Poi, per $U+V$ ho messo in un'unica matrice tutti i vettori della base di $U$ e tutti quelli della base di $V$ e ho agito come con $U$, ottenendo come base $B''={(1,2,0,-1),(1,0,0,1),(0,2,-1,0),(-1,1,0,1)}$ avente dimensione 4.
Ed infine per $UnnV$ ho agito (probabilmente inventando questo metodo) nella maniera seguente. Ho trovato l'equazione parametrica di $U$ mettendo in un'unica matrice tutti i vettori di $B$ con il vettore $((x,y,z,t))$ e riducendo con Gauss ho ottenuto $x-y-2z-t=0$, ho messo questa equazione a sistema con le equazioni parametriche di $V$ e ho ottenuto $B'''={(1,-1,1,0)}$ avente dimensione 1.
Per quanto riguarda il calcolo del supplementare non ho saputo come fare.
L'esercizio 2) era questo:
2) Sia $f(p)=p(1)x^2-p(k)$:
a) Calcolare una base e la dimensione di $ker(f)$ al variare di $k$ in $RR$;
b) dire per quali valori di $k$, $f$ è diagonalizzabile.
Purtroppo per quanto riguarda questo esercizio ho combinato un macello. Il punto b) l'avrei saputo fare se mi fossi trovato la matrice di $f(p)$, ma purtroppo non ne sono stato in grado.
Ve ne sarei grato se poteste dirmi se ho svolto correttamente o meno il punto a) dell'esercizio 1) e se poteste guidarmi nella risoluzioni degli altri punti.
Grazie in anticipo
Risposte
Nessuno è in grado di darmi una mano?
Ciao 
Il punto a) dell'esercizio 1 è tutto completo e corretto. Il supplementare è definito come quel sottospazio tale che in somma diretta($ o+ $) a quello che già hai ($ V $) ti dà tutto $ mathbb(R^4) $. Ora dato che hai una base di $ V $ è sufficiente che tu la completi con una base di $ mathbb(R^4) $ e, chiamati $ v_1,v_2 $ i vettori mancanti, avrai che $ $ è il sottospazio che cerchi.
Il secondo esercizio ho visto che l'hai pubblicato su un altro post e ti ho scritto una domanda.
Se non ti è chiaro qualcosa scrivimi.
Ciao
Il punto a) dell'esercizio 1 è tutto completo e corretto. Il supplementare è definito come quel sottospazio tale che in somma diretta($ o+ $) a quello che già hai ($ V $) ti dà tutto $ mathbb(R^4) $. Ora dato che hai una base di $ V $ è sufficiente che tu la completi con una base di $ mathbb(R^4) $ e, chiamati $ v_1,v_2 $ i vettori mancanti, avrai che $
Il secondo esercizio ho visto che l'hai pubblicato su un altro post e ti ho scritto una domanda.
Se non ti è chiaro qualcosa scrivimi.
Ciao
Grazie mille.
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