Determinare basi del nucleo dell'applicazione lineare

[svarosky90]

Salve. Sto facendo un esercizio di algebra lineare e non riesco proprio a calcolare una base del nucleo. Ho la seguente matrice derivante dall'applicazione lineare $f:R^3->R^3$$((1,1,1),(2,3,-1),(2,2,2))$ . A questo punto riduco la matrice e vedo che ha rango 2. L'immagine ha quindi dim 2 e il nucleo 1. Adesso dovrei risolvere il sistema omogeneo per trovare una base del nucleo. Ma non mi riesce. Se qualche buona anima può aiutarmi magari facendomi vedere i passaggi dettagliati. Grazie in anticipo

[mistake89]

ricava l'espressione della $f$ ed imposta il sistema $f(x,y,z)=0$ ed otterrai una base del $Ker$

[Camillo]

Devi trovcare le soluzioni del sistema omogeneo :
$x_1+x_2+x_3 =0 $
$2x_1+3x_2-x_3=0 $
$2x_1+2x_2+2x_3=0 $
L'ultima equazione è uguale alla prima moltiplicata per $2$ e puoi eliminarla.

Resta da risolvere il sistema :
$x_1+x_2+x_3 =0 $
$2x_1+3x_2-x_3=0 $

Somma le due equazioni ,membro a membro :
$3x_1 +4x_2=0 $ da cui $x_2=-(3x_1)/4 $ .
Ma $x_3= -x_1-x_2 $ e quindi $x_3 = -x_1/4 $.

$Ker f = ( x_1, -3x_1/4,-x_1/4)$ e adesso è immediato determinane una Base.

[svarosky90]

grazie camillo ora ho capito il metodo Grazie...

[vecchie90]

ciao a tutti, mi sono appena iscritto al forum.
sempre restando in questo topic, qualcuno sa dirmi come faccio a determinare le equazioni e una base per il nucleo e l'immagine quando non si tratta di un endomorfismo. devo eliminare le righe/colonne linearmente dipendenti della matrice rappresentativa?
grazie in anticipo!