Determinare base ortonormale di autovettori
Ragazzi non riesco a risolvere questo esercizio, pur sapendo il procedimento da usare!! 
Determinare una base ortonormale di autovettori per la matrice M = $((2,3,5),(3,-6,-3),(5,-3,2))$
Qualcuno mi da un aiuto? Grazie a tutti!
Determinare una base ortonormale di autovettori per la matrice M = $((2,3,5),(3,-6,-3),(5,-3,2))$
Qualcuno mi da un aiuto? Grazie a tutti!
Risposte
Scrivi tutti i passaggi fino a dove ti blocchi...
Se sai il procedimento, sarà sicuramente qualche errore algebrico, riscrivi i passaggi fino a dove non riesci ad andare più avanti.
Comunque non sembra troppo difficile a vedere la matrice, sarà sicuramente qualche errore di calcolo;
ti trovi gli autovalori, calcoli gli autospazi, normalizzi i vettori delle basi degli autospazi ed hai ottenuto la base ortonormale.
Comunque non sembra troppo difficile a vedere la matrice, sarà sicuramente qualche errore di calcolo;
ti trovi gli autovalori, calcoli gli autospazi, normalizzi i vettori delle basi degli autospazi ed hai ottenuto la base ortonormale.
"Flamber":
[...]
ti trovi gli autovalori, calcoli gli autospazi, normalizzi i vettori delle basi degli autospazi ed hai ottenuto la base ortonormale.
Falso. Così facendo non trovi mica una base ortonormale perché manca una condizione: gli autovettori devono essere ortogonali tra loro! Per fortuna, Taraste, hai dalla tua l'enunciato del teorema spettrale, e in questo caso una tal base esiste perché la matrice coincide con la sua trasposta, cioè l'endomorfismo che rappresenta è autoaggiunto.
e quindi cosa bisogna imporre ancora? che il prodotto scalare tra tutti i vettori sia 0?
ciao ragazzi. Allora io non riesco a trovare il polinomio caratteristico perchè mi viene un polinomio di terzo grado (che non riesco a scomporre nemmeno con Ruffini) e sicuramente avrò fatto qualche errore di calcolo!! potreste aiutarmi a trovare gli autovalori? Dopo non basterebbe trovare gli autovettori e attraverso il procedimento di Gram-Schmidt normalizzare gli autovettori? e quindi in questo modo trovo una base ortonormale per la matrice giusto?
Comunque cercando il polinomio caratteristico e sviluppando il determinante attraverso lo sviluppo di Laplace secondo la prima riga, trovo un polinomio di questo tipo di cui non riesco a trovare le radici: $-t^3-2*t^2+63t-210=0$ ; avrò sbagliato i calcoli ma se sviluppo secondo altre righe o colonne risultano cose simili O_o
Comunque cercando il polinomio caratteristico e sviluppando il determinante attraverso lo sviluppo di Laplace secondo la prima riga, trovo un polinomio di questo tipo di cui non riesco a trovare le radici: $-t^3-2*t^2+63t-210=0$ ; avrò sbagliato i calcoli ma se sviluppo secondo altre righe o colonne risultano cose simili O_o
Così ad occhio (scusami ma i calcoli sono troppo lunghi e devo studiare anche io 
) non mi sembra possibile che venga un polinomio di terzo grado, sicuro di aver messo bene le parentesi nel calcolo del determinante?
) non mi sembra possibile che venga un polinomio di terzo grado, sicuro di aver messo bene le parentesi nel calcolo del determinante?
Se non ho sbagliato i calcoli pure io l'equazione agli autovalori è:
\(\displaystyle \lambda^3+2\lambda^2-63\lambda=0 \)
e quindi gli autovalori sono:
\(\displaystyle \lambda_1=-9,\lambda_2=0,\lambda_3=7 \)
e gli autovettori corrispondenti ( a meno di semplificazioni ) :
\(\displaystyle (1,-2,-1),(1,1,-1),(1,0,1) \)
Si nota che essi sono a due a due ... e quindi basta solo ...
\(\displaystyle \lambda^3+2\lambda^2-63\lambda=0 \)
e quindi gli autovalori sono:
\(\displaystyle \lambda_1=-9,\lambda_2=0,\lambda_3=7 \)
e gli autovettori corrispondenti ( a meno di semplificazioni ) :
\(\displaystyle (1,-2,-1),(1,1,-1),(1,0,1) \)
Si nota che essi sono a due a due ... e quindi basta solo ...
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