Determinare base di una matrice.
Buonasera,
Mostrare che l'insieme \(\displaystyle W= \begin{vmatrix} 3a &-a+b \\ a & -2a+b \end{vmatrix} | a,b \in \mathbb{R} \)
sia un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale \(\displaystyle M^{2x2} \) e determinare una base.
Diciamo che la prima parte me la cavo, invece per la seconda non sono tanto convinto.
Io procedo cosi, per l'applicazione lineare \(\displaystyle f:v \in M^{2x2} \to \mathbb{K^4} \) la quale associa ad ogni righa della matrice, un vettore numerico dello spazio \(\displaystyle \mathbb{k^4} \)
quindi ottengo :
\(\displaystyle v_1=(3a,-a+b,0,0), v_2=(a,-2a+b,0,0) \)
di cui posso ricavarmi una base
\(\displaystyle (3a,-a+b,0,0)=a(3,-1,0,0)+b(0,1,0,0) \)
\(\displaystyle (a,-2a+b,0,0)=a(1,-2,0,0)+b(0,1,0,0) \)
quindi una generica base è formata da i seguenti vettori \(\displaystyle B =[(3,-1,0,0),(0,1,0,0),(1,2,0,0)] \)
Fine.
Spero in qualche vostro consiglio.
Cordiali saluti.
Mostrare che l'insieme \(\displaystyle W= \begin{vmatrix} 3a &-a+b \\ a & -2a+b \end{vmatrix} | a,b \in \mathbb{R} \)
sia un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale \(\displaystyle M^{2x2} \) e determinare una base.
Diciamo che la prima parte me la cavo, invece per la seconda non sono tanto convinto.
Io procedo cosi, per l'applicazione lineare \(\displaystyle f:v \in M^{2x2} \to \mathbb{K^4} \) la quale associa ad ogni righa della matrice, un vettore numerico dello spazio \(\displaystyle \mathbb{k^4} \)
quindi ottengo :
\(\displaystyle v_1=(3a,-a+b,0,0), v_2=(a,-2a+b,0,0) \)
di cui posso ricavarmi una base
\(\displaystyle (3a,-a+b,0,0)=a(3,-1,0,0)+b(0,1,0,0) \)
\(\displaystyle (a,-2a+b,0,0)=a(1,-2,0,0)+b(0,1,0,0) \)
quindi una generica base è formata da i seguenti vettori \(\displaystyle B =[(3,-1,0,0),(0,1,0,0),(1,2,0,0)] \)
Fine.
Spero in qualche vostro consiglio.
Cordiali saluti.
Risposte
Aspe l’insieme sarebbe $W={(a,b) inK^2:|A|=0}$?
Quella non è neanche una base poiché sono linearmente dipendenti.
Al più puoi considera l’immedsione di $W$ in $K^(2,2)$ tramite qualche applicazione lineare.
(Per immersione si intende un’applicazione iniettiva $L:W->V$ dove $W,V$ sono due spazi vettoriali e l’immagine $L(W)$ mantiene la stessa struttura di $W$ chiaramente ogni monomorfismo di spazi immerge una struttura in un’altra la cui unica condizione è che lo spazio immerso abbia dimensione inferiore).
Per esempio l’immersione che potresti considerare è $L(a,b)=((a,b),(0,0))$
Quella non è neanche una base poiché sono linearmente dipendenti.
Al più puoi considera l’immedsione di $W$ in $K^(2,2)$ tramite qualche applicazione lineare.
(Per immersione si intende un’applicazione iniettiva $L:W->V$ dove $W,V$ sono due spazi vettoriali e l’immagine $L(W)$ mantiene la stessa struttura di $W$ chiaramente ogni monomorfismo di spazi immerge una struttura in un’altra la cui unica condizione è che lo spazio immerso abbia dimensione inferiore).
Per esempio l’immersione che potresti considerare è $L(a,b)=((a,b),(0,0))$
Ciao Anto_zoolander,
ho sbagliato a riportare la consegna e mi scuso.
Almeno la def , funzione lineare che ho riportato è corretta, intendo questa :
ho sbagliato a riportare la consegna e mi scuso.
Almeno la def , funzione lineare che ho riportato è corretta, intendo questa :
"galles90":
\( \displaystyle f:v \in M^{2x2} \to \mathbb{K^4} \) la quale associa ad ogni righa della matrice, un vettore numerico dello spazio \( \displaystyle \mathbb{k^4} \)
Sulla mia dispensa c'è scritto :
Se si associa ad una matrice
\(\displaystyle \begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix} \)
il vettore numerico
\(\displaystyle ((x,y) , (z,v)) \)
di \(\displaystyle \mathbb{K^{mn}} \) che si ottiene disponendo in sequenza ed in orizzontale uno dopo l'altra le righe della matrice si realizza un isomorfismo tra gli spazi vettoriali \(\displaystyle M_{m,n}(K) \) e \(\displaystyle \mathbb{K^{mn}} \).
Se si associa ad una matrice
\(\displaystyle \begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix} \)
il vettore numerico
\(\displaystyle ((x,y) , (z,v)) \)
di \(\displaystyle \mathbb{K^{mn}} \) che si ottiene disponendo in sequenza ed in orizzontale uno dopo l'altra le righe della matrice si realizza un isomorfismo tra gli spazi vettoriali \(\displaystyle M_{m,n}(K) \) e \(\displaystyle \mathbb{K^{mn}} \).
Certo.
Prendi $K^n$ e considera il prodotto cartesiano
$K^ntimesK^ntimes...timesK^n:=(K^n)^m$
Intanto ti invito a dimostrare, nel caso in cui non l’avessi fatto che il prodotto cartesiano di spazi vettoriali può essere reso uno spazio vettoriale.
Facciamo l’esempio per $n=2,m=2$ ovvero $(K^2)^2$
L’applicazione $L:K^2timesK^2->K^(2,2)$ definita come
$L(v,w)=((x,y),(z,t))$ con $v=(x,y),w=(z,t)$
È facile mostrare che si tratta di un isomorfismo.
$L(v,w)=vec(0)$ allora $((x,y),(z,t))=vec(0)$ da cui banalmente $x=y=z=t=0$ ovvero $v=w=vec(0)$ quindi nucleo banale implica iniettivitá.
Allo stesso modo fai vedere che preso una qualsiasi matrice esistono $v,w inK^2:L(v,w)=((x,y),(z,t))$
Era questo il problema?
Prendi $K^n$ e considera il prodotto cartesiano
$K^ntimesK^ntimes...timesK^n:=(K^n)^m$
Intanto ti invito a dimostrare, nel caso in cui non l’avessi fatto che il prodotto cartesiano di spazi vettoriali può essere reso uno spazio vettoriale.
Facciamo l’esempio per $n=2,m=2$ ovvero $(K^2)^2$
L’applicazione $L:K^2timesK^2->K^(2,2)$ definita come
$L(v,w)=((x,y),(z,t))$ con $v=(x,y),w=(z,t)$
È facile mostrare che si tratta di un isomorfismo.
$L(v,w)=vec(0)$ allora $((x,y),(z,t))=vec(0)$ da cui banalmente $x=y=z=t=0$ ovvero $v=w=vec(0)$ quindi nucleo banale implica iniettivitá.
Allo stesso modo fai vedere che preso una qualsiasi matrice esistono $v,w inK^2:L(v,w)=((x,y),(z,t))$
Era questo il problema?
Allora dovrebbe essere cosi :
per l'applicazione lineare \( \displaystyle f:v \in M^{2x2} \to \mathbb{K^{2,2}} \)
ottengo :
\( \displaystyle v_1=(3a,-a+b), v_2=(a,-2a+b) \)
di cui posso ricavarmi una base
\( \displaystyle (3a,-a+b)=a(3,-1)+b(0,1,) \)
\( \displaystyle (a,-2a+b)=a(1,-2)+b(0,1) \)
quindi una generica base è formata da i seguenti vettori \( \displaystyle B =[(3,-1),(0,1),(1,2,)] \).
per l'applicazione lineare \( \displaystyle f:v \in M^{2x2} \to \mathbb{K^{2,2}} \)
ottengo :
\( \displaystyle v_1=(3a,-a+b), v_2=(a,-2a+b) \)
di cui posso ricavarmi una base
\( \displaystyle (3a,-a+b)=a(3,-1)+b(0,1,) \)
\( \displaystyle (a,-2a+b)=a(1,-2)+b(0,1) \)
quindi una generica base è formata da i seguenti vettori \( \displaystyle B =[(3,-1),(0,1),(1,2,)] \).
Ok una volta ottenuti quei vettori puoi considerare sempre quella applicazione che associa alla matrice $((3a,-a+b),(a,-2a+b))$ i vettori $(3a,-a+b),(a,-2a+b)$
Ora intanto quella che hai scritto NON è una base.
Il vettore di $K^2timesK^2$ è un vettore del tipo $(v,w)$ ovvero hai a che fare con due vettori.
Tu hai scritto tre vettori di $K^2$ che non c’entrano nulla al momento.
Ora una base del sottospazio di $K^(2,2):=M_(2,2)(K)$ composto da quella matrice sarà
$B={((3,-1),(1,-2)),((0,1),(0,1))}$
Ora considerando quell’isomorfismo di cui abbiamo parlato prima ovvero
$L(((3a,-a+b),(a,-2a+b)))=(.(3a,-a+b), (a,-2a+b))$
E sapendo che in generale un isomorfismo(in particolare è monomorfismo) manda sistemi indipendenti in sistemi indipendenti allora
$B={L((3,-1),(1,-2)),L((0,1),(0,1))}$ è una base di $K^2timesK^2$
Ora intanto quella che hai scritto NON è una base.
Il vettore di $K^2timesK^2$ è un vettore del tipo $(v,w)$ ovvero hai a che fare con due vettori.
Tu hai scritto tre vettori di $K^2$ che non c’entrano nulla al momento.
Ora una base del sottospazio di $K^(2,2):=M_(2,2)(K)$ composto da quella matrice sarà
$B={((3,-1),(1,-2)),((0,1),(0,1))}$
Ora considerando quell’isomorfismo di cui abbiamo parlato prima ovvero
$L(((3a,-a+b),(a,-2a+b)))=(.(3a,-a+b), (a,-2a+b))$
E sapendo che in generale un isomorfismo(in particolare è monomorfismo) manda sistemi indipendenti in sistemi indipendenti allora
$B={L((3,-1),(1,-2)),L((0,1),(0,1))}$ è una base di $K^2timesK^2$
Perfetto, sei stato un grande come sempre.
Buona giornata
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