Determinare autovalori e autovettori di matrice parametrica
Buongiorno, è il mio primo topic, premetto che ho dato uno sguardo al regolamento, spero di non fare errori e in ogni caso chiedo pietà! 
La matrice è questa:
$((-1,1,-1),(-2t,t+1,-1),(0,0,t))$
Io ho proceduto in questo modo, ho sottratto $\lambda$ alla diagonale e viene:
$((-1-\lambda,1,-1),(-2t,t+1-\lambda,-1),(0,0,t-\lambda))$
successivamente calcolo il polinomio caratteristico, e ottengo:
$(t-\lambda)[(-1-\lambda)(t+1-\lambda)-2t]$
quindi ottengo che:
$\lambda1 = t$
$\lambda2 = 0$
$\lambda3 = -4t-3$
Vorrei sapere se i miei conti sono giusti, e se sono sulla buona strada.
Da qui l'esercizio richiede di determinare se la matrice è diagonalizzabile.
Per $t\ne 0$ gli autovalori sono tutti distinti, quindi direi che è diagonalizzabile,esatto?
Per $t = 0$ verifico il rapporto molteplicità algebrica con molteplicità geometrica e ottengo:
$((-1,1,-1),(0,1,-1),(0,0,0))$
che ha rango 2, quindi M.A. + M.G. =4, la matrice è di ordine 3 x 3, quindi non è diagonalizzabile per $t = 0$, esatto?
Ringrazio anticipatamente!
Ciao
La matrice è questa:
$((-1,1,-1),(-2t,t+1,-1),(0,0,t))$
Io ho proceduto in questo modo, ho sottratto $\lambda$ alla diagonale e viene:
$((-1-\lambda,1,-1),(-2t,t+1-\lambda,-1),(0,0,t-\lambda))$
successivamente calcolo il polinomio caratteristico, e ottengo:
$(t-\lambda)[(-1-\lambda)(t+1-\lambda)-2t]$
quindi ottengo che:
$\lambda1 = t$
$\lambda2 = 0$
$\lambda3 = -4t-3$
Vorrei sapere se i miei conti sono giusti, e se sono sulla buona strada.
Da qui l'esercizio richiede di determinare se la matrice è diagonalizzabile.
Per $t\ne 0$ gli autovalori sono tutti distinti, quindi direi che è diagonalizzabile,esatto?
Per $t = 0$ verifico il rapporto molteplicità algebrica con molteplicità geometrica e ottengo:
$((-1,1,-1),(0,1,-1),(0,0,0))$
che ha rango 2, quindi M.A. + M.G. =4, la matrice è di ordine 3 x 3, quindi non è diagonalizzabile per $t = 0$, esatto?
Ringrazio anticipatamente!
Ciao
Risposte
"Ste82":
...successivamente calcolo il polinomio caratteristico, e ottengo:
$(t-\lambda)[(-1-\lambda)(t+1-\lambda)-2t]$
C'è un errore di segno. Dovrebbe essere:
$(t-\lambda)[(-1-\lambda)(t+1-\lambda)+2t]$
Semplificando dovresti ottenere:
$-(lambda-t)(lambda-1)(lambda-t+1)$.
Poi mi sono fermato nel controllare l'esercizio. Prosegui da qui. Poi eventualmente si andrà avanti.
"cirasa":
[quote="Ste82"]...successivamente calcolo il polinomio caratteristico, e ottengo:
$(t-\lambda)[(-1-\lambda)(t+1-\lambda)-2t]$
C'è un errore di segno. Dovrebbe essere:
$(t-\lambda)[(-1-\lambda)(t+1-\lambda)+2t]$
Semplificando dovresti ottenere:
$-(lambda-t)(lambda-1)(lambda-t+1)$.
Poi mi sono fermato nel controllare l'esercizio. Prosegui da qui. Poi eventualmente si andrà avanti.[/quote]
Si, ho sbagliato, ma non ho capito che calcoli hai fatto per avere il polinomio in quella forma.
Dal tuo risultato si vede che gli autovalori sono
$lambda1=t$
$lambda2=1$
$lambda3=t-1$
Mi potresti gentilmente illustrare i passaggi che hai fatto per la semplificazione?
Intanto proseguo con l'esercizio...
Quindi gli autovalori sono tutti distinti per $tne1$ e quindi la matrice sarà diagonalizzabile.
Ora esamino il caso $t=1$, e ottengo che $lambda1 = lambda2$, quindi avrò molteplicità algebrica =2
Calcolo il rango della matrice con valore di $t=1$ e ricavo:
$((-1,1,-1),(-2,2,-1),(0,0,1))$
che ha rango 2, quindi M.A. + M.G. =4 che è maggiore dell'ordine della matrice, ovvero 3.
Quindi per $t=1$ la matrice non è diagonalizzabile
E' esatto?
Grazie!
Partiamo da qui (che ho ottenuto sviluppando sull'ultima riga)
$(t-\lambda)[(-1-\lambda)(t+1-\lambda)+2t]$
Raccolgo un segno $-$ nel primo fattore e sviluppo i calcoli nella parentesi quadra:
$-(\lambda-t)[-t-1+\lambda-\lambda t-\lambda+\lambda^2+2t]$
$-(\lambda-t)[\lambda^2-\lambda t+t-1]$
A questo punto puoi trovare le due radici $lambda_1, \lambda_2$ del polinomio fra parentesi quadre, ottenendo $1$ e $(t-1)$.
Pertanto il polinomio caratteristico si fattorizza come
$-(lambda-t)(lambda-1)(lambda-t+1)$.
Per quanto riguarda la fine dell'esercizio, hai autovalori distinti per $t!=1$ e anche $t!=2$ (per $t=2$ hai che $\lambda_2=\lambda_3$).
Inoltre per calcolare la molteplicità geometrica dell'autospazio relativo ad un certo autovalore non devi calcolare il rango della matrice.
Piuttosto devi fare lo stesso procedimento con la matrice $A-lambda I$, dove $lambda$ è l'autovalore di cui vuoi calcolare la molteplicità geometrica.
Proseguo l'esercizio:
Abbiamo visto che gli autovalori sono tutti distinti per $t!=1$ e anche $t!=2$, nel qual caso la matrice è diagonalizzabile.
Caso $t=1$. Gli autovalori sono $lambda_1=1$ (con M.A. $2$) e $lambda_2=0$ (M.A. $1$).
Calcolo il rango di
$A-I=((-2,1,-1),(-2,1,-1),(0,0,0))$
Essendo tale rango =1, si ha che in questo caso la matrice è diagonalizzabile.
Caso $t=2$. Gli autovalori sono $lambda_1=2$ (con M.A. $1$) e $lambda_2=1$ (M.A. $2$).
Calcolo il rango di
$A-2I=((-3,1,-1),(-4,1,-1),(0,0,0))$
Essendo tale rango =2, si ha che in questo caso la matrice non è diagonalizzabile.
Spero di non aver commesso errori.
$(t-\lambda)[(-1-\lambda)(t+1-\lambda)+2t]$
Raccolgo un segno $-$ nel primo fattore e sviluppo i calcoli nella parentesi quadra:
$-(\lambda-t)[-t-1+\lambda-\lambda t-\lambda+\lambda^2+2t]$
$-(\lambda-t)[\lambda^2-\lambda t+t-1]$
A questo punto puoi trovare le due radici $lambda_1, \lambda_2$ del polinomio fra parentesi quadre, ottenendo $1$ e $(t-1)$.
Pertanto il polinomio caratteristico si fattorizza come
$-(lambda-t)(lambda-1)(lambda-t+1)$.
Per quanto riguarda la fine dell'esercizio, hai autovalori distinti per $t!=1$ e anche $t!=2$ (per $t=2$ hai che $\lambda_2=\lambda_3$).
Inoltre per calcolare la molteplicità geometrica dell'autospazio relativo ad un certo autovalore non devi calcolare il rango della matrice.
Piuttosto devi fare lo stesso procedimento con la matrice $A-lambda I$, dove $lambda$ è l'autovalore di cui vuoi calcolare la molteplicità geometrica.
Proseguo l'esercizio:
Abbiamo visto che gli autovalori sono tutti distinti per $t!=1$ e anche $t!=2$, nel qual caso la matrice è diagonalizzabile.
Caso $t=1$. Gli autovalori sono $lambda_1=1$ (con M.A. $2$) e $lambda_2=0$ (M.A. $1$).
Calcolo il rango di
$A-I=((-2,1,-1),(-2,1,-1),(0,0,0))$
Essendo tale rango =1, si ha che in questo caso la matrice è diagonalizzabile.
Caso $t=2$. Gli autovalori sono $lambda_1=2$ (con M.A. $1$) e $lambda_2=1$ (M.A. $2$).
Calcolo il rango di
$A-2I=((-3,1,-1),(-4,1,-1),(0,0,0))$
Essendo tale rango =2, si ha che in questo caso la matrice non è diagonalizzabile.
Spero di non aver commesso errori.
Innanzitutto ti ringrazio per l'aiuto, ora è quasi tutto chiaro.
Ho solo un'ultima domanda sullo svolgimento dell'esercizio.
Per far si che la mattrice sia diagonalizzabile, se non ho capito male, la formula dev'essere che M.A + M.G. = ordine matrice, deve valere per TUTTi gli autovalori.
Quindi io ho proceduto cosi:
Considerato che:
$lambda1=t$
$lambda2=1$
$lambda3=t-1$
e che gli autovalori sono tutti distinti per $tne1$ e $tne2$
Ora esamino il caso per $t=1$
Quindi ho che $t=1 , lambda1 = lambda2 =1$
Quindi la mia nuova matrice $A-lambdaI$ sarà:
$((0,1,-1),(-2,1,-1),(0,0,0))$
Che ha rango 2, quindi $M.A +M.G. = 2+2 = 4ne$dall'ordine della matrice
Quindi dato che la condizione deve valere per tutti gli autovalori, potrei anche evitare di prendere in considerazione $lambda3$, ma non importa..
Per $t=1 e lambda3=0$
$((-1,1,-1),(-2,2,-1),(0,0,1))$
che ha rango 2, quindi $M.A. +M.G. =$ordine della matrice
ma comunque per $t=1$ la matrice non è diagonalizzabile.
Per $t=2 lambda2=lambda3=1$ quindi M.A =2
$((-1,1,-1),(4,2,-1),(0,0,2))$
che ha rango 3 quindi la matrice per t=2 non è diagonalizzabile
Per $t=2 e lambda1=2$
$((-3,1,-1),(4,1,-1),(0,0,2))$
Che anche questa ha rango 3, quindi comunque per $t=2$ la matrice non sarà diagonalizzabile.
E' corretto?
Grazie ancora!
Ho solo un'ultima domanda sullo svolgimento dell'esercizio.
Per far si che la mattrice sia diagonalizzabile, se non ho capito male, la formula dev'essere che M.A + M.G. = ordine matrice, deve valere per TUTTi gli autovalori.
Quindi io ho proceduto cosi:
Considerato che:
$lambda1=t$
$lambda2=1$
$lambda3=t-1$
e che gli autovalori sono tutti distinti per $tne1$ e $tne2$
Ora esamino il caso per $t=1$
Quindi ho che $t=1 , lambda1 = lambda2 =1$
Quindi la mia nuova matrice $A-lambdaI$ sarà:
$((0,1,-1),(-2,1,-1),(0,0,0))$
Che ha rango 2, quindi $M.A +M.G. = 2+2 = 4ne$dall'ordine della matrice
Quindi dato che la condizione deve valere per tutti gli autovalori, potrei anche evitare di prendere in considerazione $lambda3$, ma non importa..
Per $t=1 e lambda3=0$
$((-1,1,-1),(-2,2,-1),(0,0,1))$
che ha rango 2, quindi $M.A. +M.G. =$ordine della matrice
ma comunque per $t=1$ la matrice non è diagonalizzabile.
Per $t=2 lambda2=lambda3=1$ quindi M.A =2
$((-1,1,-1),(4,2,-1),(0,0,2))$
che ha rango 3 quindi la matrice per t=2 non è diagonalizzabile
Per $t=2 e lambda1=2$
$((-3,1,-1),(4,1,-1),(0,0,2))$
Che anche questa ha rango 3, quindi comunque per $t=2$ la matrice non sarà diagonalizzabile.
E' corretto?
Grazie ancora!
Se per M.A. tu intendessi la molteplicità algebrica di un dato autovalore e per M.G. intendessi la molteplicità geometrica del medesimo dato autovalore sappi che la condizione [tex]M.A+M.G.=n[/tex] non è corretta!
Una matrice quadrata di ordine n sarebbe diagonalizzabile se e solo se la somma delle M.G. degli autovalori fosse n!
Una matrice quadrata di ordine n sarebbe diagonalizzabile se e solo se la somma delle M.G. degli autovalori fosse n!
Sono d'accordo con "j18eos".
La condizione $M.A.+M.G.=n$ non è corretta.
Piuttosto devi verificare che, la somma delle molteplicità geometriche di tutti gli autovalori è $n$.
Equivalentemente puoi verificare che (per ogni autovalore $lambda$) si ha che $M.A.=M.G.$.
Se non ho capito male, il tuo prof vi ha insegnato un'altra condizione equivalente da verificare, ovvero che per ogni autovalore $lambda$ si ha che $M.A.+rank(A-lambda I)=n$.
In questo caso:
No. Se $lambda=1$ la matrice $A-lambdaI=A-I$ è
$((-2,1,-1),(-2,1,-1),(0,0,0))$
di rango $1$.
Visto che $m.a.=2$, $rank(A-I)=1$. Per questo autovalore è ok.
Visto che anche per l'altro sarà ok (è di molteplicità algebrica 1), in questo caso la matrice è diagonalizzabile.
No. La matrice da considerare è $A-I$ che è (siamo nel caso $t=2$)
$((-2,1,-1),(-4,2,-1),(0,0,1))$
di rango $2$.
Visto che $m.a.=2$, $rank(A-I)=2$. Per questo autovalore non va bene.
Per $t=2$ la matrice non è diagonalizzabile.
[Mi scuso per il messaggio precedente. Nel caso $t=2$ avevo fatto la verifica per l'autovalore $2$ ma non c'entrava niente.]
La condizione $M.A.+M.G.=n$ non è corretta.
Piuttosto devi verificare che, la somma delle molteplicità geometriche di tutti gli autovalori è $n$.
Equivalentemente puoi verificare che (per ogni autovalore $lambda$) si ha che $M.A.=M.G.$.
Se non ho capito male, il tuo prof vi ha insegnato un'altra condizione equivalente da verificare, ovvero che per ogni autovalore $lambda$ si ha che $M.A.+rank(A-lambda I)=n$.
In questo caso:
"Ste82":
Quindi ho che $t=1 , lambda_1 = lambda_2 =1$
Quindi la mia nuova matrice $A-lambdaI$ sarà:
$((0,1,-1),(-2,1,-1),(0,0,0))$
No. Se $lambda=1$ la matrice $A-lambdaI=A-I$ è
$((-2,1,-1),(-2,1,-1),(0,0,0))$
di rango $1$.
Visto che $m.a.=2$, $rank(A-I)=1$. Per questo autovalore è ok.
Visto che anche per l'altro sarà ok (è di molteplicità algebrica 1), in questo caso la matrice è diagonalizzabile.
"Ste82":
Per $t=2, lambda_2=lambda_3=1$ quindi M.A =2
$((-1,1,-1),(4,2,-1),(0,0,2))$
No. La matrice da considerare è $A-I$ che è (siamo nel caso $t=2$)
$((-2,1,-1),(-4,2,-1),(0,0,1))$
di rango $2$.
Visto che $m.a.=2$, $rank(A-I)=2$. Per questo autovalore non va bene.
Per $t=2$ la matrice non è diagonalizzabile.
[Mi scuso per il messaggio precedente. Nel caso $t=2$ avevo fatto la verifica per l'autovalore $2$ ma non c'entrava niente.]
Ok, ora è tutto chiaro!
Grazie a tutti!
Grazie a tutti!
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