Determinare autovalore di un'applicazione lineare

[Megaboh]

Salve, avrei un problema riguardante questo esercizio:

Vericare che v = (1; 0; 0; 1) è autovettore dell'applicazione lineare T così definita
$ T(x1; x2; x3; x4) = (2x1 - 2x3, -x1 + 2x2 + x3 + x4, x3, x1 - 2x3 + x4) $
Determinare inoltre il relativo autovalore.

Allora, il problema è questo: io ho la soluzione di questo esercizio perché l'ho preso da un pdf con esercizi di geometria svolti, solo che lo risolve in questo modo:
$ T(1, 0, 0, 1) = (2, -1 + 1, 0, 1 + 1) = (2, 0, 0, 2) = 2 * v $ => v è autovettore dell'autovalore associato a 2.

In pratica sostituisce l'autovettore nell'applicazione e verifica se sia un multiplo di esso... solo che un mio amico è rimasto perplesso da questo svolgimento, dicendomi che secondo lui era meglio crearsi la matrice associata dalla dimensione di partenza (R^4) e trovarsi l'equazione caratteristica.
Quindi veniva una cosa del tipo:

2-k | 0 | -2 | 0
-1 | 2-k | 1 | 1
0 | 0 | 1-k | 0
1 | 0 | -2 | 1-k


$ (2-k)x1 + 2x3 = 0 $
$ x1 + (2-k)x2 + x3 + x4 =0 $
$ (1-k)x3 = 0 $
$ x1 + 2x3 + (1-k)x4 = 0 $


ha sostituito ai valori x l'autovettore che chiedeva di verificare e quindi viene che k ha un solo valore che soddisfa le equazioni, cioè 2.

I miei dubbi sono questi:
1- È valida la prima soluzione che ho postato(cioè quella che stava nel pdf)? Se sì, perché?
2- Se è valida, è meglio svolgerla in quel modo o nel modo in cui mi ha detto il mio amico?

Grazie in anticipo della risposta!

[fra017]

il testo ti dice verifica che sia un autovettore. io avrei fatto come dice il pdf usando la definizione $L(v)=\lambdav$

[Megaboh]

Esatto, alla fine era come avevo fatto io all'inizio, solo che questo mio amico mi aveva insinuato il dubbio! Grazie mille