Determinare applicazione lineare definita tramite immagini o nucleo

[Frink88]

Ciao a tutti, ho dei dubbi sulla risoluzione di questa tipologia di esercizi che richiedono un procedimento inverso a quello che ho usato finora:
1) Determinare un'applicazione lineare $f : RR^3 rightarrow RR^4$ tale che $imf=mathfrak{L}((1,2,0,-4)(2,0,-1,-3))$
2) Determinare un'applicazione lineare $f : RR^3 rightarrow RR^4$ tale che $kerf=mathfrak{L}(1,0,1)$

Per il primo ho pensato che essendo $dim(imf)=2$ la matrice associata ad f, rispetto alle basi canoniche, avrà $rank(M(f)=2)$ e sarà quindi del tipo: $M(f)=((1,2,0),(2,0,0),(0,-1,0),(-4,3,0))$


Per il secondo l'unica informazione che ho è $f(1,0,1)=(0,0,0,0)$, mi servirebbero altri due vettori di $RR^3$, linearmente indipendenti con $(1,0,1)$ per formare una base del dominio. Ma $M(f)$ come la ricavo? Scelgo arbitrariamente anche i due vettori immagine?

[killing_buddha]

Chiaramente $M(f)$ dipende da dove scegli di mandare il completamento di \(\left(\begin{smallmatrix}1\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\) a una base di $RR^3$.

[Bokonon]

Per il primo problema va benissimo mettere come terza colonna una qualsiasi combinazion lineare delle prime due.
Per il secondo problema, per avere un vettore (1,0,1) che generi lo spazio nullo, la forma echelon della matrice dovrà essere di questo tipo:
$M(f)=((1,0,-1),(0,1,0),(0,0,0),(0,0,0))$

A partire da quella matrice (che è già una soluzione) puoi moltiplicare (per uno scalare), sommare e invertire le righe a piacimento per creare tutte le soluzioni che vuoi.