Determinare Applicazione Affine

[M.C.D.1]

Ragazzi Un Aiuto Su Questo esercizio
Determinare l'applicazione Affine che Fissa [tex]P(2,-3,1)[/tex], che trasforma [tex]\pi: 3x-y+z-1=0[/tex] in [tex]\beta:[/tex] [tex]-2x+5y+z-4=0[/tex]
in particolare trasforma la retta r:

[tex]\begin{displaymath}
\begin{cases}
x = 0 \\ y-z+1=0
\end{cases}
\end{displaymath}[/tex]

Nella Retta s:
[tex]\begin{displaymath}
\begin{cases}
y = 0 \\ 2x -z -4 =0
\end{cases}
\end{displaymath}[/tex]
Io Avevo pensato Di Ragionare Nel Modo Seguente:

Partendo Dall'equazione Generica Del Tipo

[tex]\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h &
i\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{bmatrix}[/tex]

E Pondendo Dapprima Che L'applicazione Fissi Il Punto P
Dopodiche' Ho Cercato L'intersezione Tra i due Piani, scoprendo che tale intersezione e' una retta, quindi ho preso due punti di tale retta e ho posto che la mia applicazione Fissi Questi Punti (Dico Bene?)
Infine preso un punto di r ne ho fatto il generico trasformato e ho imposto che appartenesse a s, e ho preso un punto di s ne ho fatto il trasformato e ho posto che appartenesse a r
Ma Cosi' ottengo un sistema immenso con 12 variabili

Il Metodo e' corretto?
C'e' qualche metodo piu' rapido?

[apatriarca]

"M.C.D.":
E Pondendo Dapprima Che L'applicazione Fissi Il Punto P

Sicuramente questo è il primo passaggio. Sia quindi [tex]T(X) = AX + \boldsymbol{v}[/tex] ([tex]X[/tex] punto) la trasformazione affine. Imponendo che [tex]P[/tex] sia fissato dovresti ottenere che [tex]P = T(P) = AP + \boldsymbol{v} \implies (P - AP) = \boldsymbol{v}[/tex]. Questa equazione ti permette di calcolare il vettore [tex]\boldsymbol{v}[/tex] una volta trovata la matrice [tex]A[/tex]. Nel seguito conviene quindi limitarsi a equazioni che abbiano solo la matrice [tex]A[/tex] come incognita. Per farlo è sufficiente studiare il comportamento della trasformazione [tex]T[/tex] su vettori. Ti ricordo infatti che preso un vettore [tex]\boldsymbol{w}[/tex], [tex]T(\boldsymbol{w}) = A\boldsymbol{w}[/tex] per definizione.

Dopodiche' Ho Cercato L'intersezione Tra i due Piani, scoprendo che tale intersezione e' una retta, quindi ho preso due punti di tale retta e ho posto che la mia applicazione Fissi Questi Punti (Dico Bene?)

No, un'applicazione affine può fissare una retta senza fissare nessuno dei suoi punti (in effetti o li fissa tutti o nessuno). È sufficiente pensare alla traslazione lungo la direzione della retta. Inoltre non è detto che la retta di intersezione venga fissata. Considera infatti la composizione di una rotazione intorno alla retta di intersezione che mandi un piano nell'altro seguita da una traslazione lungo una qualsiasi direzione contenuta nel piano [tex]\beta[/tex] diversa dalla direzione della retta. Questa trasformazione manda certamente [tex]\pi[/tex] in [tex]\beta[/tex], ma non è vero che la retta di intersezione rimane fissata. Non è infine neanche detto che la retta mantenga la sua direzione nell'immagine. Considera infatti la trasformazione che ruota i piani intorno alla retta di intersezione composta con una rotazione che lasci invariato il piano [tex]\beta[/tex].
Una prima certezza che però abbiamo è che la retta normale di [tex]\pi[/tex] si trasformi in un vettore normale al piano [tex]\beta[/tex]. Essendo un vettore normale, si deve però stare attenti a come lo si trasforma*. Siano [tex]\boldsymbol{n_{\pi}}[/tex] e [tex]\boldsymbol{n_{\beta}}[/tex] le due normali, abbiamo quindi la seguente equazione: [tex]\mu \, \boldsymbol{n_{\beta}} = A^{-T} \boldsymbol{n_{\pi}}[/tex] per un qualche [tex]\mu \in \mathbb R[/tex]. Questa relazione non è comunque sufficiente per costringere la trasformazione a mandare un piano nell'altro. Un modo per farlo è quello di richiedere che l'immagine di un punto di [tex]\pi[/tex] rispetti l'equazione di [tex]\beta[/tex]. Sia quindi [tex]O[/tex] questo punto (scelto a caso in modo da semplificare il più possibile le equazioni), abbiamo allora l'equazione [tex]\boldsymbol{n_{\beta}}^T (AO + \boldsymbol{v}) - 4 = 0[/tex]. Ricordandosi che l'equazione di [tex]\boldsymbol{v}[/tex] possiamo scrivere [tex]\boldsymbol{n_{\beta}}^T (A(O - P) + P) = 4[/tex].

Infine preso un punto di r ne ho fatto il generico trasformato e ho imposto che appartenesse a s, e ho preso un punto di s ne ho fatto il trasformato e ho posto che appartenesse a r

Qui non ci siamo per niente.. Spero di essere riuscito a spiegarti il perché nel punto precedente. In questo caso, abbiamo che la direzione di [tex]r[/tex] si trasforma nella direzione di [tex]s[/tex] e che l'immagine di un punto qualsiasi di [tex]r[/tex] deve rispettare le equazioni di [tex]s[/tex]. Per cui abbiamo che se [tex]\boldsymbol{d_r}[/tex] e [tex]\boldsymbol{d_s}[/tex] sono le direzioni delle due rette si deve avere che [tex]\lambda \, \boldsymbol{d_s} = A \boldsymbol{d_r}[/tex] per un qualche [tex]\lambda \in \mathbb R[/tex]. Inoltre se [tex]Q \in r[/tex] dobbiamo avere che [tex]\boldsymbol{j} \cdot (A(Q - P) + P) = 0[/tex] ([tex]\boldsymbol{j} = (0, 1, 0)[/tex]) e [tex](2, 0, -1) \cdot (A(Q - P) + P) = 4[/tex].

Si tratta sempre di risolvere un sistema di undici variabili (nove di [tex]A[/tex] e due per le due equazioni sulle direzioni)... Ma si può cercare di semplificare le cose nel seguente modo.. Una prima idea per semplificare le formule è quella di considerare la trasformazione in un sistema di riferimento con [tex]P[/tex] all'origine. Se [tex]S[/tex] è la traslazione per [tex]- P[/tex], possiamo cioè trovare la trasformazione [tex]A \circ T \circ A^{-1}[/tex] relativa al sistema di riferimento centrato in [tex]P[/tex] per poi calcolare la trasformazione nel sistema di riferimento iniziale a partire da quella. In questo caso è necessario trasformare tutte le equazioni nel nuovo sistema di riferimento, ma non è particolarmente difficile. Ma possiamo metterci in un riferimento ancora più comodo.. Possiamo ad esempio fare un rotazione + scalamento in modo da avere [tex]\boldsymbol{i}[/tex] come normale del piano [tex]\pi[/tex]. In questo modo si riesce a rendere più semplice l'equazione delle normali che è la più problematica.. Ma osservando che [tex]r \subset \pi[/tex], possiamo fare in modo che la rotazione precedente trasformi la direzione della retta [tex]r[/tex] in [tex]\boldsymbol{j}[/tex]. Ma abbiamo ora che la trasformazione [tex]T[/tex] in questo sistema di riferimento manda i vettori della base rispettivamente in un vettore normale al piano [tex]\beta[/tex] ad un vettore parallelo al vettore direzione della retta [tex]s[/tex] e nel prodotto vettoriale di questi primi due. A meno di uno scalamento abbiamo quindi trovato la nostra trasformazione!! Ora non resta che usare le equazioni dei punti del piano e della retta per stabilire gli scalamenti. Nota che in questo sistema di riferimento è tutto molto più semplice, anche quelle equazioni.

* Inserisco qui la dimostrazione nel caso non l'avessi mai visto. La normale [tex]\boldsymbol{n}[/tex] di un piano è un vettore (dal punto di vista teorico è comodo considerarlo in realtà un vettore dello spazio duale) perpendicolare ad ogni vettore del piano. Presi cioè due punti [tex]Q_1[/tex] e [tex]Q_2[/tex] qualsiasi del piano, [tex]\boldsymbol{n} \cdot (Q_2 - Q_1) = \boldsymbol{n}^T (Q_2 - Q_1) = 0[/tex] (considero i vettori come matrici colonna). Definiamo l' “immagine” attraverso un'applicazione affine del vettore normale di un piano come il vettore normale dell'immagine del piano. Abbiamo quindi la relazione [tex]S\boldsymbol{n} \cdot A(Q_2 - Q_1) = \boldsymbol{n}^T S^T A (Q_2 - Q_1) = 0[/tex] per una qualche matrice [tex]S[/tex]. Dobbiamo quindi avere che [tex]S^T A = I \implies S = A^{-T}[/tex].