Determinante unica funzione con certe proprietà
Il determinante è [size=150]l'unica[/size] funzione
$det:M(n)to K$
avente le proprietà seguenti:
$det I = 1$
se $B$ è ottenuta scambiando due righe o due colonne di $A$ , allora $det B = -det A$ ,
se $B$ è ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di $A$ per $k$ , allora $det B = kdet A$ ,
se $B$ è ottenuta sommando una riga o una colonna rispettivamente di A ad un'altra, allora $det B = det A$
ho scritto cosi unica perché la nostra proffa ci ha ripetuto questa cosa più di una volta...ma come faccio a dimostrarlo? e secondo vuoi perché ci ha tenuto a ribadirlo più di una volta?
$det:M(n)to K$
avente le proprietà seguenti:
$det I = 1$
se $B$ è ottenuta scambiando due righe o due colonne di $A$ , allora $det B = -det A$ ,
se $B$ è ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di $A$ per $k$ , allora $det B = kdet A$ ,
se $B$ è ottenuta sommando una riga o una colonna rispettivamente di A ad un'altra, allora $det B = det A$
ho scritto cosi unica perché la nostra proffa ci ha ripetuto questa cosa più di una volta...ma come faccio a dimostrarlo? e secondo vuoi perché ci ha tenuto a ribadirlo più di una volta?
Risposte
Devi dimostrare che due funzioni che soddisfano tutte le proprieta' tranne la prima (cioe' fare 1 sulla base canonica) differiscono per un multiplo scalare; in altre parole l'insieme delle forme n-lineari alternanti su uno spazio vettoriale di dimensione n ha dimensione 1, e il determinante e' una base di tale spazio. Secondo me ci ha tenuto a ribadirlo perche' e' una cosa fondamentale 
premetto che io sono uno che ha fatto di Algebra lineare for Dummies una bibba XD mi dispiace non ho capito niente di cosa hai scritto...
Con un po' di tempo da parte ti scrivo due righe meno condensate. Intanto mi sorge la domanda: come pretendi, allora, di poter capire quello che dice la tua "proffa"?
il fatto è che essendo un corso non molto approfondito i prof tendono molto a semplificare...e termini che tu od altri usate come pane quotidiano io non so nemmeno che esistono...ma non posso farci niente io comunque mi smazzo a capirci qualcosina ma il linguaggio che conosco non è tecnico perché non ce lo insegnano...
Io l'ho capito così: una funzione è unica quando assume valori ben definiti da valori ben definiti, in poche parole se due funzioni da un insieme di valori ti sputano gli stessi valori allora sono uguali,( d'altronde come penseresti di definire una funzione senza usare gli oggetti con cui lavora??)ora io so che :
$Det(A) =(-1)^m Det(S)$ dove S è la ridotta a scalini e m è il numero di righe che scambi,ma :
$Det(S)=\prod_{i=1}^n p_i $ in poche parole in prodotto dei pivots e questi hanno dei valori ben definiti ed anche il prodotto è un'operazione ben definita.. spero sono stato chiaro
.
$Det(A) =(-1)^m Det(S)$ dove S è la ridotta a scalini e m è il numero di righe che scambi,ma :
$Det(S)=\prod_{i=1}^n p_i $ in poche parole in prodotto dei pivots e questi hanno dei valori ben definiti ed anche il prodotto è un'operazione ben definita.. spero sono stato chiaro
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d'altronde come penseresti di definire una funzione senza usare gli oggetti con cui lavora?
Eh, sapessi
si ma la prof ha reclamizzato che il determinate è l'unica funzione utilizzato le tre proprietà e delle conseguenze di quelle proprietà
"killing_buddha":d'altronde come penseresti di definire una funzione senza usare gli oggetti con cui lavora?
Eh, sapessi
No ora mi hai messo curiosità!!
"megaempire":
si ma la prof ha reclamizzato che il determinate è l'unica funzione utilizzato le tre proprietà e delle conseguenze di quelle proprietà
infatti quella "dimostrazione " che ti ho fatto io usa sempre le 3 proprietà però applicate alla riduzione a scalini di una matrice,se tu vedi un qualsiasi testo di algebra il determinante te lo presenta con le 3 proprietà ma anche con altre che discendono da quelle e una di queste è che in una triangolare superiore il determinante è il prodotto dei pivots.( la triangolare superiore sarebbe la ridotta S)
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