Determinante per righe e per colonne?
$A=(a_(ij))_{i, j=1,ldots,n}$.
In generale le due formule
1)$sum_{sigma\inSym(n)}"sign"(sigma)a_{1,sigma(1)}ldotsa_{n,sigma(n)}$
e
2)$sum_{sigma\inSym(n)}"sign"(sigma)a_{sigma(1),1}ldotsa_{sigma(n),n}$
danno risultati diversi, a meno che il prodotto non sia commutativo.
Un esempio è la matrice di quaternioni reali $A=((0, i), (j,0))$:
visto che $Sym(2)={id, (1 2)}$ con $id$ pari e $(1 2)$ dispari, e che $ij=k, ji=-k$, le due formule darebbero
$sum_{sigma\inSym(n)}"sign"(sigma)a_{1,sigma(1)}ldotsa_{n,sigma(n)}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}=-ij=-k$
e
$sum_{sigma\inSym(n)}"sign"(sigma)a_{sigma(1),1}ldotsa_{sigma(n),n}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2}=-ji=k$
Allora mi chiedo: quale delle due formule è quella "giusta"? Di solito sui libri il determinante viene definito direttamente mediante la prima. Però io sono portato a credere che sarebbe opportuno scegliere la seconda, se identifichiamo matrici e applicazioni lineari nella maniera solita, cioè pensando i vettori come colonne e moltiplicandoli a destra delle matrici.
$\qquad$Mi riferisco anche stavolta agli appunti di M.Cailotto per la definizione "intrinseca" di determinante di un operatore lineare $phi:V\toV$ come
$det(phi)=\frac{D(phi(b_1),ldots,phi(b_n))}{D(b_1, ldots, b_n)}$
dove $B=(b_1,ldots,b_n)$ è una base di $V$ e $D$ una qualunque forma n-lineare alternante non nulla, definita su $V$.
[size=75]Nota: la definizione è ben posta per due motivi:
primo, lo spazio vettoriale delle forme n-lineari alternanti su uno spazio di dimensione n ha dimensione uno;
secondo, scegliendo una diversa base il risultato non cambia. Solo delle verifiche che qui non scrivo.[/size]
Quindi, per venire al sodo, il determinante di una matrice lo possiamo definire come
$det\ A=\frac{D(A_{(1)},ldots,A_{(n)})}{D(E_1, ldots, E_n)}$
dove $(E_1, ldots, E_n)$ è la base canonica dei vettori colonna di dimensione $n$, $A_{(i)}$ è l'i-esima colonna di $A$.
Poiché $D$ è n-lineare, possiamo scrivere $D(A_{(1)},ldots,A_{(n)})=D(sum_{h_1=1}^n a_{h_1, 1}E_{h_1},ldots,sum_{h_n=1}^na_{h_n, n}E_{h_n})=sum_{h_1ldotsh_n=1}^na_{h_1,1}ldotsa_{h_n,n}D(E_{h_1},ldots, E_{h_n})=$$sum_{sigma\inSym(n)}a_{sigma(1),1}ldotsa_{sigma(n),n}D(E_{sigma(1)},ldots,E_{sigma(n)})=$ {visto che $D$ è alternante} $=sum_{sigma\inSym(n)}"sign"(sigma)a_{sigma(1),1}ldotsa_{sigma(n),n}D(E_1,ldots,E_n)$.
Dividendo per $D(E_1,ldots,E_n)$, ricaviamo la formula 2) di sopra.
$\qquad$Ora io so che sui determinanti esistono volumi interi e che la stessa definizione si può dare in molti modi diversi, per questo mi interesserebbe la vostra opinione.
In generale le due formule
1)$sum_{sigma\inSym(n)}"sign"(sigma)a_{1,sigma(1)}ldotsa_{n,sigma(n)}$
e
2)$sum_{sigma\inSym(n)}"sign"(sigma)a_{sigma(1),1}ldotsa_{sigma(n),n}$
danno risultati diversi, a meno che il prodotto non sia commutativo.
Un esempio è la matrice di quaternioni reali $A=((0, i), (j,0))$:
visto che $Sym(2)={id, (1 2)}$ con $id$ pari e $(1 2)$ dispari, e che $ij=k, ji=-k$, le due formule darebbero
$sum_{sigma\inSym(n)}"sign"(sigma)a_{1,sigma(1)}ldotsa_{n,sigma(n)}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}=-ij=-k$
e
$sum_{sigma\inSym(n)}"sign"(sigma)a_{sigma(1),1}ldotsa_{sigma(n),n}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2}=-ji=k$
Allora mi chiedo: quale delle due formule è quella "giusta"? Di solito sui libri il determinante viene definito direttamente mediante la prima. Però io sono portato a credere che sarebbe opportuno scegliere la seconda, se identifichiamo matrici e applicazioni lineari nella maniera solita, cioè pensando i vettori come colonne e moltiplicandoli a destra delle matrici.
$\qquad$Mi riferisco anche stavolta agli appunti di M.Cailotto per la definizione "intrinseca" di determinante di un operatore lineare $phi:V\toV$ come
$det(phi)=\frac{D(phi(b_1),ldots,phi(b_n))}{D(b_1, ldots, b_n)}$
dove $B=(b_1,ldots,b_n)$ è una base di $V$ e $D$ una qualunque forma n-lineare alternante non nulla, definita su $V$.
[size=75]Nota: la definizione è ben posta per due motivi:
primo, lo spazio vettoriale delle forme n-lineari alternanti su uno spazio di dimensione n ha dimensione uno;
secondo, scegliendo una diversa base il risultato non cambia. Solo delle verifiche che qui non scrivo.[/size]
Quindi, per venire al sodo, il determinante di una matrice lo possiamo definire come
$det\ A=\frac{D(A_{(1)},ldots,A_{(n)})}{D(E_1, ldots, E_n)}$
dove $(E_1, ldots, E_n)$ è la base canonica dei vettori colonna di dimensione $n$, $A_{(i)}$ è l'i-esima colonna di $A$.
Poiché $D$ è n-lineare, possiamo scrivere $D(A_{(1)},ldots,A_{(n)})=D(sum_{h_1=1}^n a_{h_1, 1}E_{h_1},ldots,sum_{h_n=1}^na_{h_n, n}E_{h_n})=sum_{h_1ldotsh_n=1}^na_{h_1,1}ldotsa_{h_n,n}D(E_{h_1},ldots, E_{h_n})=$$sum_{sigma\inSym(n)}a_{sigma(1),1}ldotsa_{sigma(n),n}D(E_{sigma(1)},ldots,E_{sigma(n)})=$ {visto che $D$ è alternante} $=sum_{sigma\inSym(n)}"sign"(sigma)a_{sigma(1),1}ldotsa_{sigma(n),n}D(E_1,ldots,E_n)$.
Dividendo per $D(E_1,ldots,E_n)$, ricaviamo la formula 2) di sopra.
$\qquad$Ora io so che sui determinanti esistono volumi interi e che la stessa definizione si può dare in molti modi diversi, per questo mi interesserebbe la vostra opinione.
Risposte
Questo, a mio avviso, fa capire perchè conviene "fare" geometria su corpi commutativi...
Permetti una domanda... Cosa intendi per "base canonica" d'uno spazio vettoriale?...
Permetti una domanda... Cosa intendi per "base canonica" d'uno spazio vettoriale?...
"base canonica" di uno spazio vettoriale non significa niente, naturalmente. Intendevo dire $E_1=((1),(vdots),(0)), ldots, E_n=((0),(vdots),(1))$. Scelgo questa per fare comparire le colonne di $A$ al numeratore.
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