Determinante normalizzato $\leq 1$
Ciao a tutti!!! Innanzi tutto mi scuso se avessi sbagliato sezione: è un argomento che trovo su un testo di analisi numerica, ma si tratta di determinanti...
Definito il determinante normalizzato di \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\) come\[\mathcal{D}_N (A)=\frac{\det(A)}{\prod_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|_2}\]dove \(\|\mathbf{a}_k\|_2\) è la norma euclidea della $k$-esima riga, trovo detto che \(\forall A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\text{ }\mathcal{D}_N (A)\leq 1\) [correzione: lèggasi \(\mathbb{R})\text{ }|\mathcal{D}_N (A)|\leq 1\)], naturalmente
senza dimostrazione (è un libro di analisi numerica e l'autrice stessa si lamenta del fatto di dover snellire la trattazione a causa del nuovo ordinamento 
).
Io avevo pensato che si potrebbe dimostrare per assurdo vedendo $A\in\text{GL}_n(\mathbb{R})$ (invertibile perché se \(\det (A)=0\) la disuguaglianza è banale) come somma di una matrice unitriangolare superiore $U$ non diagonale e della matrice definita da $E=A-U$: se fosse \(|\det(U+E)|>\prod_{k=1}^n \|\mathbf{u}_k+\mathbf{e}_k\|\), facendo tendere a 0 tutti i coefficienti di $E$ -scrivo \(\|E\|_F\to 0\) per dire che la norma di Frobenius di $E$ tende a 0- direi che si avrebbe \[\lim_{\|E\|_F\to 0} |\det(U+E)|=|\det(U)|=1\geq\lim_{\|E\|_F\to 0}\prod_{k=1}^n \|\mathbf{u}_k+\mathbf{e}_k\|= \prod_{k=1}^n \|\mathbf{u}_k\|>1\]che sarebbe, ma questo direi che dimostra solo che esiste un intorno di $U\inmathbb{R}^{n^2}$ tale che \(A(E)=U+E\) ha determinante normalizzato di modulo \(|\mathcal{D}_N(A(E))|\leq 1\)...
Qualcuno ha idee migliori?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Definito il determinante normalizzato di \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\) come\[\mathcal{D}_N (A)=\frac{\det(A)}{\prod_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|_2}\]dove \(\|\mathbf{a}_k\|_2\) è la norma euclidea della $k$-esima riga, trovo detto che \(\forall A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\text{ }\mathcal{D}_N (A)\leq 1\) [correzione: lèggasi \(\mathbb{R})\text{ }|\mathcal{D}_N (A)|\leq 1\)], naturalmente
senza dimostrazione (è un libro di analisi numerica e l'autrice stessa si lamenta del fatto di dover snellire la trattazione a causa del nuovo ordinamento ).Io avevo pensato che si potrebbe dimostrare per assurdo vedendo $A\in\text{GL}_n(\mathbb{R})$ (invertibile perché se \(\det (A)=0\) la disuguaglianza è banale) come somma di una matrice unitriangolare superiore $U$ non diagonale e della matrice definita da $E=A-U$: se fosse \(|\det(U+E)|>\prod_{k=1}^n \|\mathbf{u}_k+\mathbf{e}_k\|\), facendo tendere a 0 tutti i coefficienti di $E$ -scrivo \(\|E\|_F\to 0\) per dire che la norma di Frobenius di $E$ tende a 0- direi che si avrebbe \[\lim_{\|E\|_F\to 0} |\det(U+E)|=|\det(U)|=1\geq\lim_{\|E\|_F\to 0}\prod_{k=1}^n \|\mathbf{u}_k+\mathbf{e}_k\|= \prod_{k=1}^n \|\mathbf{u}_k\|>1\]che sarebbe, ma questo direi che dimostra solo che esiste un intorno di $U\inmathbb{R}^{n^2}$ tale che \(A(E)=U+E\) ha determinante normalizzato di modulo \(|\mathcal{D}_N(A(E))|\leq 1\)...
Qualcuno ha idee migliori?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Io noto due lacuna: la matrice \(\displaystyle A\) deve essere prive di righe nulle e dev'essere in generale:
\[
\mathcal{D}_N(A)=\frac{|\det(A)|}{\displaystyle\prod_{k=1}^m\|\mathbf{a}_k\|}.
\]
Per adesso ho notato solo che:
\[
\forall k;h\in\{1;...;m\},\,\|\mathbf{a}_k\|\geq a_k^h
\]
quindi quella produttoria è maggiore o uguale di ogni termine di \(\det A\)!
Non ho notato altro... o meglio, per adesso ho solo notato che:
\[
\mathcal{D}_N(A)\leq m!
\]
\[
\mathcal{D}_N(A)=\frac{|\det(A)|}{\displaystyle\prod_{k=1}^m\|\mathbf{a}_k\|}.
\]
Per adesso ho notato solo che:
\[
\forall k;h\in\{1;...;m\},\,\|\mathbf{a}_k\|\geq a_k^h
\]
quindi quella produttoria è maggiore o uguale di ogni termine di \(\det A\)!
Non ho notato altro... o meglio, per adesso ho solo notato che:
\[
\mathcal{D}_N(A)\leq m!
\]
"j18eos":
Io noto due lacuna: la matrice \(\displaystyle A\) deve essere prive di righe nulle e dev'essere [...]
Oh, scusa, il mio testo definisce il determinante normalizzato così, senza prendere il modulo, ma la maggiorazione che voglio dimostrare è\[|\mathcal{D}_N(A)|\leq 1\]
Una cosa non capisco: che cos'è $a_k^h$?
$\infty$ grazie, Armando!!!
...\(\displaystyle a_k^h\) è l'elemento della matrice \(\displaystyle A\) di \(\displaystyle k\)-esima ed \(\displaystyle h\)-esima colonna.
fino ad ora avevo solo trovato la notazione del tipo $a_{kh}$...Grazie anche per questa precisazione!!!
Ho editato il primo post, in modo da non indurre altri a fare considerazioni scorrette quanto le mie.
Sto ancora riflettendo su questa faccenda, su cui non trovo nulla in rete, ma non sono ancora andato oltre alla constatazione che dal teorema di Gershgorin sui dischi chiusi contenenti gli autovalori $\lambda_k$ di $A$ discende praticamente immediatamente, usando la disuguaglianza triangolare \(|\lambda_k|\leq|\lambda-a_{kk}|+|a_{kk}| \), che\[|\det (A)|=\prod_{k=1}^n|\lambda_k|\leq \prod_{k=1}^n\|\mathbf{a}_k\|_1 \]ma si tratta della 1-norma e non di quella euclidea come vorrei dimostrare e la norma euclidea non maggiora la 1-norma, anche se so che \(\|\mathbf{x}\|_2\leq\|\mathbf{x}\|_1\leq\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_2\)...
Grazie di cuore di nuovo ad Armando per essere intervenuto e a chiunque voglia ancora intervenire!
Sto ancora riflettendo su questa faccenda, su cui non trovo nulla in rete, ma non sono ancora andato oltre alla constatazione che dal teorema di Gershgorin sui dischi chiusi contenenti gli autovalori $\lambda_k$ di $A$ discende praticamente immediatamente, usando la disuguaglianza triangolare \(|\lambda_k|\leq|\lambda-a_{kk}|+|a_{kk}| \), che\[|\det (A)|=\prod_{k=1}^n|\lambda_k|\leq \prod_{k=1}^n\|\mathbf{a}_k\|_1 \]ma si tratta della 1-norma e non di quella euclidea come vorrei dimostrare e la norma euclidea non maggiora la 1-norma, anche se so che \(\|\mathbf{x}\|_2\leq\|\mathbf{x}\|_1\leq\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_2\)...
Grazie di cuore di nuovo ad Armando per essere intervenuto e a chiunque voglia ancora intervenire!
Non ho capito: quella formula è valida con la norma \(\displaystyle\|\cdot\|_1\)?
No, no:\[\mathcal{D}_N (A):=\frac{\det(A)}{\prod_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|_2}\]con \(\|\cdot\|_2\) norma euclidea, mantre io sono finora riuscito solo a dimostrare che\[\Bigg|\frac{\det(A)}{\prod_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|_1}\Bigg|\leq 1\]
[ot]Permettetemi uno sfogo contro i testi di Analisi Numerica che utilizzano un'algebra lineare avanzata presentando i risultati senza neanche accennare alla dimostrazione! Che nervoso 
[/ot]
[/ot]
[ot]@Emar: già... e non solo quando utilizzano l'algebra lineare...
Se un testo di matematica o fisica che sto seguendo non riporta la dimostrazione di qualcosa ne cerco una on line o in qualche altro testo, e, se non utilizza strumenti matematici a me del tutto ignoti, me la studio, o cerco di dimostrarmela senza riuscire a stare sulle spalle di giganti e, se non riesco nell'intento, vengo qui a rompere le scatole, ma mai come studiando analisi numerica mi è capitato di dover cercare altrove dimostrazioni di enunciati presenti nel libro.
Devo dire che, letta l'introduzione, me lo aspettavo, visto che l'autrice si lamenta di dover "stringere" perché il tempo concesso dalla riforma dell'univsersità lo impone e -sembra- ci sono studenti che non si disperano granché se un libro non dimostra un risultato interessante purché non sia da "portare all'esame"
[/ot]
Se un testo di matematica o fisica che sto seguendo non riporta la dimostrazione di qualcosa ne cerco una on line o in qualche altro testo, e, se non utilizza strumenti matematici a me del tutto ignoti, me la studio, o cerco di dimostrarmela senza riuscire a stare sulle spalle di giganti e, se non riesco nell'intento, vengo qui a rompere le scatole, ma mai come studiando analisi numerica mi è capitato di dover cercare altrove dimostrazioni di enunciati presenti nel libro.
Devo dire che, letta l'introduzione, me lo aspettavo, visto che l'autrice si lamenta di dover "stringere" perché il tempo concesso dalla riforma dell'univsersità lo impone e -sembra- ci sono studenti che non si disperano granché se un libro non dimostra un risultato interessante purché non sia da "portare all'esame"
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