Determinante matrice diagonalizzabile
Ciao a tutti.
Consideriamo una matrice $A$ di dimensione $n xx n$, NON diagonale, ma diagonalizzabile, ovvero esiste un matrice $B$ tale per cui si ha la seguente equazione:
$D= B^(-1)AB$
Da questo consegue che esistono $n$ autovalori reali che sono gli elementi non nulli presenti sulla diagonale della matrice $D$.
La mia domanda è: il determinante della matrice $A$ è uguale al determinante della matrice $D$? Ovvero, il determinante della matrice $A$ è uguale al prodotto degli autovalori?
Consideriamo una matrice $A$ di dimensione $n xx n$, NON diagonale, ma diagonalizzabile, ovvero esiste un matrice $B$ tale per cui si ha la seguente equazione:
$D= B^(-1)AB$
Da questo consegue che esistono $n$ autovalori reali che sono gli elementi non nulli presenti sulla diagonale della matrice $D$.
La mia domanda è: il determinante della matrice $A$ è uguale al determinante della matrice $D$? Ovvero, il determinante della matrice $A$ è uguale al prodotto degli autovalori?
Risposte
È così...e si dimostra facilmente.
Poiché $det(D)=det(B^(-1)AB)=det(B^(-1))det(A)det(B)=1/(det(B))det(B)det(A)=det(A)$
Poiché $det(D)=det(B^(-1)AB)=det(B^(-1))det(A)det(B)=1/(det(B))det(B)det(A)=det(A)$
"Bokonon":
È così...e si dimostra facilmente.
Poiché $det(D)=det(B^(-1)AB)=det(B^(-1))det(A)det(B)=1/(det(B))det(B)det(A)=det(A)$
grazieeeeeeee
"anonymous_be0efb":
Da questo consegue che esistono $n$ autovalori reali che sono gli elementi non nulli presenti sulla diagonale della matrice $D$.
Mi è sfuggita questa affermazione mentre ero in vaporetto e quindi occorre una precisazione.
Non importa se la matrice A ha determinante uguale a zero o no....se è diagonalizzabile la tesi vale comunque.
Anzichenò, persino se la matrice A non fosse diagonalizzabile perchè ha due delle radici complesse (arrivano sempre in coppie), esse sarebbero coniugate e quindi il loro prodotto restituirebbe un numero reale.
Non si potrebbe usare l'argomentazione che ho utlizzato nel post sopra, eppure il prodotto degli autovalori reali e complessi ci darebbe ancora il $det(A)$.
La relazione fra autovalori e determinante della matrice è più profonda della banale dimostrazione di cui sopra.
"Bokonon":AAARRRGGGHHH!!!
[...]Non importa se la matrice A ha determinante uguale a zero o no....se è diagonalizzabile la tesi vale comunque.
Anzichenò, persino se la matrice A non fosse diagonalizzabile[...]
Basta che sia diagonalizzabile su \(\displaystyle\mathbb{C}\)...
Altrimenti, nel caso di matrici non diagonalizzabili, bisogna trovare una forma canonica di Jordan della matrice stessa, la quale esiste sempre (a valori in \(\displaystyle\mathbb{C}\)).
@ Bokonon: [ot]"Vaporetto"?
È un termine che ho sentito usare solo da corregionali... Tanto per curiosità: di dove sei?[/ot]
È un termine che ho sentito usare solo da corregionali... Tanto per curiosità: di dove sei?[/ot]
"j18eos":
AAARRRGGGHHH!!!
Ok, mi sono espresso malissimo ma intendevo dire che anche una matrice ad entrate reali (come una matrice di rotazione/asimmetrica), nonostante non sia diagonalizzabile in $RR$, gode comunque della proprietà per cui il prodotto degli autovalori (reali e complessi) è uguale al determinante.
@Gugo
[ot]Sono veneziano
[/ot]
[ot]Sono veneziano
[/ot]
"Bokonon":Sì se gli autovalori sono tutti semplici; altrimenti bisogna tenere conto delle loro molteplicità algebriche.
...intendevo dire che anche una matrice ad entrate reali (come una matrice di rotazione/asimmetrica), nonostante non sia diagonalizzabile in $RR$, gode comunque della proprietà per cui il prodotto degli autovalori (reali e complessi) è uguale al determinante.
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