Determinante forme quadratiche semidefinite
Il mio libro dice: " [...] si noti che il determinante vale zero, e che questa è una proprietà sempre verificata dalle matrici semidefinite e indefinite".
Ora, se prendo la matrice associata: $A=((1,0),(2,1))$, $Phi(x)=x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2$ e quindi è semidefinita positiva. MA $|A|=1$ che è in contrasto con quanto dice il libro.
Cosa non va?
Ora, se prendo la matrice associata: $A=((1,0),(2,1))$, $Phi(x)=x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2$ e quindi è semidefinita positiva. MA $|A|=1$ che è in contrasto con quanto dice il libro.
Cosa non va?
Risposte
Che la f.q. è definita!
Ma se io prendo $x=(1,-1)$, $Phi(x)=0$. Non dovrebbe essere che se $A$ è definita allora $AA x Phi(x)>0$ ?
Io ho sempre adottato il criterio, riguardo le matrici associate:
1) il determinante di tutti i minori di Nord Ovest (sic!) è positivo: la f.q. è definita positiva.
2) il deteterminante dei minori di NO è concorde a (-1)^m, dove m è l'ordine del minore: la f.q. è definita negativa.
I minori di Nord Ovest (di ordine m) sono i minori della matrice An,n che hanno
per loro prime colonne le prime m colonne di A, ciascuna delle quali senza gli ultimi n-m elementi. Detto così! ...suona strano, no?
Esempio:
$A=((1,2,0), (-1,3,-2), (0,2,-1))$
I minori di NO sono
$A_1= (1)$;
$A_2 = ( (1,2),(-1,3))$;
$A_3 = A =((1,2,0), (-1,3,-2), (0,2,-1))$;
Nel tuo caso:
det ($A_1)$ =1
e
det ($A_2 = A$) =1,
per cui la f.q. è definita positiva.
Poi, MI PARE di ricordare che:
Se i determinanti diversi da 0 dei minori
di NO non rispettano la condizione 1) o la 2) dei segni, la f.q. è indefinita.
Se, invece, vi sono determinanti nulli, ed i determinanti non
nulli rispettano la 1) o la 2), la f.q. è semidefinita, positiva se 1), negativa se 2).
Se i determinanti sono tutti nulli la f.q. pure è semidefinita. (i det. non
nulli, insomma, non hanno a contrastare con 1) o 2) -allora la f.q. è indefinita).
Penso, se allora non ricordo male,
che il libro intendesse: se A ha determinante nullo, allora la f.q. è indefinita o semidefinita.
Non è vero il viceversa: per esempio A[size=59]2,2[/size] potrebbe avere determinante negativo, e la
f.q. essere perciò indefinita, per quanto s'è detto.
Devo studiare bene, comunque, le f.q. -la regola dei determinanti la ricordo, ma devo approfondire su esse.
1) il determinante di tutti i minori di Nord Ovest (sic!) è positivo: la f.q. è definita positiva.
2) il deteterminante dei minori di NO è concorde a (-1)^m, dove m è l'ordine del minore: la f.q. è definita negativa.
I minori di Nord Ovest (di ordine m) sono i minori della matrice An,n che hanno
per loro prime colonne le prime m colonne di A, ciascuna delle quali senza gli ultimi n-m elementi. Detto così! ...suona strano, no?
Esempio:
$A=((1,2,0), (-1,3,-2), (0,2,-1))$
I minori di NO sono
$A_1= (1)$;
$A_2 = ( (1,2),(-1,3))$;
$A_3 = A =((1,2,0), (-1,3,-2), (0,2,-1))$;
Nel tuo caso:
det ($A_1)$ =1
e
det ($A_2 = A$) =1,
per cui la f.q. è definita positiva.
Poi, MI PARE di ricordare che:
Se i determinanti diversi da 0 dei minori
di NO non rispettano la condizione 1) o la 2) dei segni, la f.q. è indefinita.
Se, invece, vi sono determinanti nulli, ed i determinanti non
nulli rispettano la 1) o la 2), la f.q. è semidefinita, positiva se 1), negativa se 2).
Se i determinanti sono tutti nulli la f.q. pure è semidefinita. (i det. non
nulli, insomma, non hanno a contrastare con 1) o 2) -allora la f.q. è indefinita).
Penso, se allora non ricordo male,
che il libro intendesse: se A ha determinante nullo, allora la f.q. è indefinita o semidefinita.
Non è vero il viceversa: per esempio A[size=59]2,2[/size] potrebbe avere determinante negativo, e la
f.q. essere perciò indefinita, per quanto s'è detto.
Devo studiare bene, comunque, le f.q. -la regola dei determinanti la ricordo, ma devo approfondire su esse.
Molto carino come sistema 
Aaah ok, se è una condizione solo sufficiente allora ok...
Aaah ok, se è una condizione solo sufficiente allora ok...
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