Determinante e Volume di un n-parallelepipedo
Grazie mille 
, purtroppo essendo non frequentante seguo le dispense e il libro, ma proverò a prendere contatti con il professore.
Sempre se aveste voglia, mi piacerebbe riportare la seconda parte dubbia:
Alternativamente, il volume è dato dalla formula $sqrt(det(vi · vj ))$ (sempre pos-
itivo). La matrice $(vi · vj )$ coincide infatti con la matrice prodotto $M^t · M$ .
OSS: Siano dati k vettori ${v1, . . . , vk}$ in Rn. Consideriamo il parallelogramma
generato da essi. In questo caso, per calcolare il volume rispetto al prodotto
scalare standard, possiamo usare la formula $sqrt(det(vi · vj ))$. Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk.
Più in generale, dati k vettori R{v1, . . . , vk}R in uno spazio Euclideo $(V, ·)$, il
volume del parallelogramma da essi generato coincide con $sqrt(det(vi · vj ))$ perché
qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente
Sulla parte di $sqrt(det(vi · vj ))$ mi pare chiaro, meno chiaro è il discorso:
Credo di non aver ben capito cosa voglia fare.
E quando dice:
come si riconduca al precedente.
Onestamente ci ho ragionato molto, ma non ho concluso granché
, purtroppo essendo non frequentante seguo le dispense e il libro, ma proverò a prendere contatti con il professore.Sempre se aveste voglia, mi piacerebbe riportare la seconda parte dubbia:
Alternativamente, il volume è dato dalla formula $sqrt(det(vi · vj ))$ (sempre pos-
itivo). La matrice $(vi · vj )$ coincide infatti con la matrice prodotto $M^t · M$ .
OSS: Siano dati k vettori ${v1, . . . , vk}$ in Rn. Consideriamo il parallelogramma
generato da essi. In questo caso, per calcolare il volume rispetto al prodotto
scalare standard, possiamo usare la formula $sqrt(det(vi · vj ))$. Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk.
Più in generale, dati k vettori R{v1, . . . , vk}R in uno spazio Euclideo $(V, ·)$, il
volume del parallelogramma da essi generato coincide con $sqrt(det(vi · vj ))$ perché
qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente
Sulla parte di $sqrt(det(vi · vj ))$ mi pare chiaro, meno chiaro è il discorso:
"Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk."
Credo di non aver ben capito cosa voglia fare.
E quando dice:
perché qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente
come si riconduca al precedente.
Onestamente ci ho ragionato molto, ma non ho concluso granché
Risposte
Il fatto che il volume sia dato dalla radice quadrata che hai scritto è chiaro, perché puoi scrivere tutti i vettori $v_i$ usando una base ortonormale $w_1,...,w_k$ dello spazio generato da $v_1,...,v_k$ e a questo punto puoi trattarli a tutti gli effetti come vettori di $RR^k$ identificando $a_1w_1+...+a_kw_k$ con la $k$-upla $(a_1,...,a_k)$. Questo è utile perché ti permette di calcolare il volume $k$-dimensionale generato da $k$ vettori $v_1,...,v_k$ anche se lo spazio ambiente $RR^n$ ha dimensione $n$ maggiore del numero di vettori $k$. La dimostrazione è semplice: dopo aver scritto tutto usando una base ortonormale, puoi pensare di avere $k$ vettori in $RR^k$ e il volume è, come al solito, $|det(M)|$ dove $M$ è la matrice che ha i $v_i$ come colonne (o come righe, non cambia niente), d'altra parte
$|det(M)| = sqrt(det(M)^2) = sqrt(det(M)*det(M)) = sqrt(det(M^t)*det(M)) = sqrt(det(M^t*M))$.
Il punto è che la matrice $M^t * M$ può essere calcolata senza dover passare per una base ortonormale, basta fare $A^t * A$ dove $A$ è la matrice che ha i $v_i$ come colonne (e quindi $A$ è una matrice con $n$ righe e $k$ colonne).
$|det(M)| = sqrt(det(M)^2) = sqrt(det(M)*det(M)) = sqrt(det(M^t)*det(M)) = sqrt(det(M^t*M))$.
Il punto è che la matrice $M^t * M$ può essere calcolata senza dover passare per una base ortonormale, basta fare $A^t * A$ dove $A$ è la matrice che ha i $v_i$ come colonne (e quindi $A$ è una matrice con $n$ righe e $k$ colonne).
Certamente, quello che dici era la giustificazione che mi ero dato e per quello dicevo "Sulla parte di $sqrt(det(vi · vj ))$ mi pare chiaro".
In realtà non ho capito come riconduca poi quel ragionamento fatto nei due punti:
Banalmente non capisco cosa stia dicendo con $RR^k × 0 ≤ RR^n$ e che c'azzeccasse con il discorso della radice/determinante/trasposta ecc svolto.
Inoltre poi dice:
non capisco il discorso della isometria e cosa cerchi di tramadarmi.
erano queste le due domande in reatà, perché non ho afferrato cosa volesse dirmi. il resto mi è chiaro.
In realtà non ho capito come riconduca poi quel ragionamento fatto nei due punti:
"Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk."
Banalmente non capisco cosa stia dicendo con $RR^k × 0 ≤ RR^n$ e che c'azzeccasse con il discorso della radice/determinante/trasposta ecc svolto.
Inoltre poi dice:
perché qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente
non capisco il discorso della isometria e cosa cerchi di tramadarmi.
erano queste le due domande in reatà, perché non ho afferrato cosa volesse dirmi. il resto mi è chiaro.
Eh però le risposte le trovi nel mio intervento precedente, non saprei cosa aggiungere.
Allora sono solo scemo XD.
Il fatto che non credo di aver capito $RR^k × 0 ≤ RR^n$, cioè mi sembra che voglia dire che se ho uno spazio $RR^n$ lo spazio $RR^k × 0$ ne è sottospazio. Il ragionamento della radice lo capisco se ho n vettori, li identifico con la n-upla tramite isomorfismo coordinato e faccio tutto il ragionamento sul determinante.
Ma cosa accade se ho k vettori? $RR^k × 0 ≤ RR^n$ questo dice che il prodotto cartesiano di Rk con 0 è sottospazio di Rn e quindi? Non ho proprio capito
Il fatto che non credo di aver capito $RR^k × 0 ≤ RR^n$, cioè mi sembra che voglia dire che se ho uno spazio $RR^n$ lo spazio $RR^k × 0$ ne è sottospazio. Il ragionamento della radice lo capisco se ho n vettori, li identifico con la n-upla tramite isomorfismo coordinato e faccio tutto il ragionamento sul determinante.
Ma cosa accade se ho k vettori? $RR^k × 0 ≤ RR^n$ questo dice che il prodotto cartesiano di Rk con 0 è sottospazio di Rn e quindi? Non ho proprio capito
Hai $k$ vettori $v_1,...,v_k$ linearmente indipendenti, chiamiamo $W$ lo spazio generato da essi. Ovviamente $W$ è un sottospazio di $RR^n$ e $dim(W)=k$. Ora, possiamo scegliere una base ortonormale di $W$, chiamiamola $w_1,...,w_k$, e completare tale base a una base di $RR^n$, chiamiamola $w_1,...,w_k,w_(k+1),...,w_n$. Scrivendo tutto in questa base, e identificando la scrittura $a_1w_1+...+a_nw_n$ con la $n$-upla $(a_1,...,a_n)$, è chiaro che i vettori $v_1,...,v_k$ saranno identificati con particolari $n$-uple tutte del tipo $(a_1,...,a_k,0,...,0)$, cioè elementi di $RR^k xx 0$. In altre parole, a meno di cambiare base, possiamo identificare $W$ con il sottospazio $RR^k xx 0$ di $RR^n$. Questa identificazione è compatibile con il prodotto scalare (cioè il prodotto scalare fatto in $W$ coincide con quello fatto in $RR^k xx 0$ quando passi ai vettori corrispondenti), perché abbiamo scelto una base ortonormale di $W$.
Grazie per la spiegazione chiarificatrice!
"Martino":Cercavo proprio una spiegazione del genere e vorrei chiedere una cosa se non fosse troppo tardi per questo post.
Il fatto che il volume sia dato dalla radice quadrata che hai scritto è chiaro, perché puoi scrivere tutti i vettori $v_i$ usando una base ortonormale $w_1,...,w_k$
Non ho capito perché si debba prendere una base ortonormale e non posso usare una base qualunque, infatti una qualunque base crea un isomorfidmo coordinato con $RR^3$, è forse che mancherebbe l'isomeria? Garantita dalla base ortonormale?
Non capisco però se tutte le altre basi (non ortonormali) facciano perdere l'isomeria sempre o se alcune andrebbero comunque bene.
Grazie
@gassattiello: non si capisce cosa stai chiedendo, gli argomenti di cui sopra servono per l'appunto a evitare di usare una base ortonormale. Si possono usare i vettori dati all'inizio $v_1,...,v_k$.
La tua frase "non capisco se tutte le altre basi facciano perdere l'isometria" non è comprensibile, non capisco a cosa ti riferisci. Meglio se lo scrivi in formule.
La tua frase "non capisco se tutte le altre basi facciano perdere l'isometria" non è comprensibile, non capisco a cosa ti riferisci. Meglio se lo scrivi in formule.
Certo, scusa, provo a spiegarmi meglio
Leggendo la tua risposta ho visto che dicevi che "Il fatto che il volume sia dato dalla radice quadrata che hai scritto è chiaro, perché puoi scrivere tutti i vettori vi usando una base ortonormale w1,...,wk"
L'idea mi sembrava essere: prendo una base ortonormale e trovo le componenti rispetto a quella base, le rileggo come vettore colonna o riga $R^n$ e sono a posto.
Il tuo ragionamento mi pareva quindi basarsi sull'usodi una base ortonormale, e lo capivo, è comoda perché crea una isometria tra $V$ e $R^n$, e quindi calcolare il volume in V è pari a calcolarlo in $R^n$ e mi era comodo per il ragionamento che facevi sfruttando il determinante.
Da qui nasceva il mio dubio, ma se uso una base NON ortonormale il legame $V<->R^n$ (cioè tramite componenti rispetto a una base non ortonormale) fa si che non abbia più una isometria?
E quindi calcolare il volume in Rn a questo punto cambia rispetto a quello in V?
E da questo mi chiedevo, se scelgo una base che non è ortonormale succede sempre che non ho più una isometria tra V e Rn o solo per alcune?
Leggendo la tua risposta ho visto che dicevi che "Il fatto che il volume sia dato dalla radice quadrata che hai scritto è chiaro, perché puoi scrivere tutti i vettori vi usando una base ortonormale w1,...,wk"
L'idea mi sembrava essere: prendo una base ortonormale e trovo le componenti rispetto a quella base, le rileggo come vettore colonna o riga $R^n$ e sono a posto.
Il tuo ragionamento mi pareva quindi basarsi sull'usodi una base ortonormale, e lo capivo, è comoda perché crea una isometria tra $V$ e $R^n$, e quindi calcolare il volume in V è pari a calcolarlo in $R^n$ e mi era comodo per il ragionamento che facevi sfruttando il determinante.
Da qui nasceva il mio dubio, ma se uso una base NON ortonormale il legame $V<->R^n$ (cioè tramite componenti rispetto a una base non ortonormale) fa si che non abbia più una isometria?
E quindi calcolare il volume in Rn a questo punto cambia rispetto a quello in V?
E da questo mi chiedevo, se scelgo una base che non è ortonormale succede sempre che non ho più una isometria tra V e Rn o solo per alcune?
Continuo a non capire la domanda.
In generale una funzione lineare tra due spazi (normati) della stessa dimensione è un'isometria se e solo se manda basi ortonormali in basi ortonormali. Non so se questo risponde alla tua domanda.
In generale una funzione lineare tra due spazi (normati) della stessa dimensione è un'isometria se e solo se manda basi ortonormali in basi ortonormali. Non so se questo risponde alla tua domanda.
Uhm allora c'è qualcosa che non ho capito della teoria, vediamo se ci riesco a capirlo
Io da quanto mi pare di aver compreso dallo studio della teoria so che se prendo lo spazio V geometrico es. delle freccette grfiche (o comunque un qualsiasi spazio) e definisco una base di esso, decomponendo ogni vettore $v_i$ di tal spazio rispetto alla base avrò le componenti. Tali componenti (chiamiamole $a_i$) sono vettori n-uple di $R^n$
Fin qui dovremmo esserci.
Ora, leggevo che se prendo una base ortonormale in V allora quello che mi si crea è una isometria con $R^n$ in questo processo di scrittura dei vettori nelle sue componenti.
Fin qui anche dovremmo esserci, mi sembra chiaro che avendo una base ortonormale in V, scrivo le componenti di un qualsiasi vettore di V in quella base, trovo le n-uple, questo è un isomorfismo (l'isomorfismo coordinato: $phi:V->>RR^n, phi(a_1vecv_1+...+a_nvecv_n)=(a_1,...,a_n)$, in $R^n$ ho il prodotto scalare canonico, ho quindi isometria tra V e Rn dato che quell'isomorfismo manda basi ortonormali in basi ortonormali.
Detto ciò...
Da qui mi ero figurato che se prendo una base NON ortonormale in V le $a_i'$ che ottengo mi dessero un legame con $R^n$ che non era più una isometria.
Ora, con la tua ultima risposta mi hai fatto però riflettere e ho dei sani dubbi: in realtà il prodotto scalare come sappiamo non è unico in uno spazio, quindi potrei prendere una base in V che non è ortonormale rispetto al prodotto scalare classico (norma per coseno dell'angolo compreso) ma potrei definire un altro prodotto scalare per cui due vettori sono ortogonali a 30° per dire.
A questo punto è a pieno diritto una base ortonormale quella siffatta: prendo dei vettori unitari a 30°, rispetto al prodotto scalare suddetto, essa è ovviamente base ortonormale.
Però così facendo ho creato una isometria infatti posso mandare questi vettori di 30° tra loro nella base ortonormale canonica di $R^n$? Mi pare di si.
Allora il dubbio è: Prendendo delle basi a casaccio in V, è possibile trovare scomponendo i vettori sulla base qualcosa che non sia una isomeria? Mi pare di no perché posso sempre creare prodotti scalari per cui due vettori sono ortogonali in quel prodotto scalare e quindi mando basi ortonormali in basi ortonormali.
Io da quanto mi pare di aver compreso dallo studio della teoria so che se prendo lo spazio V geometrico es. delle freccette grfiche (o comunque un qualsiasi spazio) e definisco una base di esso, decomponendo ogni vettore $v_i$ di tal spazio rispetto alla base avrò le componenti. Tali componenti (chiamiamole $a_i$) sono vettori n-uple di $R^n$
Fin qui dovremmo esserci.
Ora, leggevo che se prendo una base ortonormale in V allora quello che mi si crea è una isometria con $R^n$ in questo processo di scrittura dei vettori nelle sue componenti.
Fin qui anche dovremmo esserci, mi sembra chiaro che avendo una base ortonormale in V, scrivo le componenti di un qualsiasi vettore di V in quella base, trovo le n-uple, questo è un isomorfismo (l'isomorfismo coordinato: $phi:V->>RR^n, phi(a_1vecv_1+...+a_nvecv_n)=(a_1,...,a_n)$, in $R^n$ ho il prodotto scalare canonico, ho quindi isometria tra V e Rn dato che quell'isomorfismo manda basi ortonormali in basi ortonormali.
Detto ciò...
Da qui mi ero figurato che se prendo una base NON ortonormale in V le $a_i'$ che ottengo mi dessero un legame con $R^n$ che non era più una isometria.
Ora, con la tua ultima risposta mi hai fatto però riflettere e ho dei sani dubbi: in realtà il prodotto scalare come sappiamo non è unico in uno spazio, quindi potrei prendere una base in V che non è ortonormale rispetto al prodotto scalare classico (norma per coseno dell'angolo compreso) ma potrei definire un altro prodotto scalare per cui due vettori sono ortogonali a 30° per dire.
A questo punto è a pieno diritto una base ortonormale quella siffatta: prendo dei vettori unitari a 30°, rispetto al prodotto scalare suddetto, essa è ovviamente base ortonormale.
Però così facendo ho creato una isometria infatti posso mandare questi vettori di 30° tra loro nella base ortonormale canonica di $R^n$? Mi pare di si.
Allora il dubbio è: Prendendo delle basi a casaccio in V, è possibile trovare scomponendo i vettori sulla base qualcosa che non sia una isomeria? Mi pare di no perché posso sempre creare prodotti scalari per cui due vettori sono ortogonali in quel prodotto scalare e quindi mando basi ortonormali in basi ortonormali.
Adesso stai dicendo una cosa diversa. È ovvio che se hai una base $B$ che è ortonormale e cambi il prodotto scalare la base $B$ in generale non è più ortonormale. Quando si parla di isometria, i prodotti scalari degli spazi sono fissati e non cambiano.
Mi sembra che stai chiedendo la cosa seguente: se $B$ è una qualsiasi base di $RR^n$, esiste un prodotto scalare che la rende una base ortonormale?
Prima di tutto bisogna chiarire cosa intendiamo per prodotto scalare, o meglio per prodotto interno.
Un prodotto interno (cerca "inner product space" su wiki) su $RR^n$ è una cosa del tipo $(v,w) to v^TAw$ (vettore riga per matrice per vettore colonna) dove $A$ è una matrice $n xx n$ definita positiva (cioè $v^TAv > 0$ per ogni vettore non nullo $v$) e il $T$ a esponente indica la trasposizione. Se una matrice $B$ ha come colonne i vettori di una base ortonormale rispetto a tale prodotto scalare allora $B^TAB=1$ (dove $1$ è la matrice identica) e cioè $A=(B*B^T)^(-1)$. Quindi $A$ esiste se e solo se $B*B^T$ è definita positiva.
D'altra parte $B*B^T$ è definita positiva perché se $v$ è un vettore non nullo allora $w=B^Tv ne 0$ (perché $B$ è invertibile) e quindi
$v^T B* B^T v = (B^Tv)^T B^Tv = w^Tw >0$.
Quindi la risposta è sì, per ogni base esiste un prodotto interno che la rende ortonormale.
Mi sembra che stai chiedendo la cosa seguente: se $B$ è una qualsiasi base di $RR^n$, esiste un prodotto scalare che la rende una base ortonormale?
Prima di tutto bisogna chiarire cosa intendiamo per prodotto scalare, o meglio per prodotto interno.
Un prodotto interno (cerca "inner product space" su wiki) su $RR^n$ è una cosa del tipo $(v,w) to v^TAw$ (vettore riga per matrice per vettore colonna) dove $A$ è una matrice $n xx n$ definita positiva (cioè $v^TAv > 0$ per ogni vettore non nullo $v$) e il $T$ a esponente indica la trasposizione. Se una matrice $B$ ha come colonne i vettori di una base ortonormale rispetto a tale prodotto scalare allora $B^TAB=1$ (dove $1$ è la matrice identica) e cioè $A=(B*B^T)^(-1)$. Quindi $A$ esiste se e solo se $B*B^T$ è definita positiva.
D'altra parte $B*B^T$ è definita positiva perché se $v$ è un vettore non nullo allora $w=B^Tv ne 0$ (perché $B$ è invertibile) e quindi
$v^T B* B^T v = (B^Tv)^T B^Tv = w^Tw >0$.
Quindi la risposta è sì, per ogni base esiste un prodotto interno che la rende ortonormale.
Ok perfetto, la mia idea era in realtà dire che presi tre vettori a casaccio su V potevo definire un prodotto scalare per cui erano ortogonali, quindi in V, non tanto su $RR^n$, tuttavia mi pare che se io faccio un isomorfismo tra $V$<->$R^3$ mappando ogni vettore nella tripla in modo che i versori i,j,k a 90° in V diventino vettori della base canonica di in $R^3$, allora automaticamente presi tre vettori isomorfi a 3 vettori non ortogonali (col prodotto scalare standard) in V posso definire un secondo prodotto scalare su $R^3$ (come da te dimostrato) e far si che siano ortogonali, a questo punto questo nuovo prodotto scalare su $R^3$ lo induce anche su V e il gioco è fatto.
Da ciò come dici tu per ogni base esiste un prodotto interno sia su V che su $R^3$ quindi esistono varie isometrie tra V e R3 che rispettano il rispettivo prodotto scalare.
Ok, ora, se non sto dicendo scemenze forti di questo concetto posso porre la domanda.
- se io prendo una base ${v_1,...,v_3}$ di V ortonormale per il prdotto standard di V, ogni vettore $w_i$ avrà le copmponenti $(b_1,...,b_3) in R^3$ ho una ismoetria tra $V$ e $R^3$ e quindi quando vado a calcolare il volume posso calcolarlo come $|detM|$ come mostravi nel tuo primo messaggio.
Quello che volevo dire io è quindi questo: se io prendo una seconda base (qualunque) non ortonormale di v ${v_1',...,v_3'}$ evidentemente avrò per ogni $v_i $ le rispettive $(a_1',...,a_3') in R^3$ in questo caso però l'isomorfismo che lega i vettori v' ad a' non è più una isometria, quindi se calcolo il volume come $|detM|$ non funzionarà più che è lo stesso volume su V?
Come hai detto tu ogni isometria lega basi ortonormali a basi ortonormali, e qui non ho quel legame perché sto mandando una base non ortonormale in una non ortonormale (rispetto al prodotto scalar standard dei due spazi) => non è isometria.
-A questo punto faccio un passo in più e mi dico: se io dico che ${v_1',...,v_3'}$ è ortonormale in V per un secondo prodotto scalare (non quello classico), allora evidentemente avrò $(a_1',...,a_3') in R^3$ che avrà il prodotto scalare per cui le triple isomorfe alla base di V sono ortogonali.
A questo punto io ho una isometria perché mando base ortonormale in base ortonormale, quindi ora $|detM|$ è di nuovo il volume costruito coi vettori v1,v2,v3?
Edit: corrette alcune cosette.
Da ciò come dici tu per ogni base esiste un prodotto interno sia su V che su $R^3$ quindi esistono varie isometrie tra V e R3 che rispettano il rispettivo prodotto scalare.
Ok, ora, se non sto dicendo scemenze forti di questo concetto posso porre la domanda.
- se io prendo una base ${v_1,...,v_3}$ di V ortonormale per il prdotto standard di V, ogni vettore $w_i$ avrà le copmponenti $(b_1,...,b_3) in R^3$ ho una ismoetria tra $V$ e $R^3$ e quindi quando vado a calcolare il volume posso calcolarlo come $|detM|$ come mostravi nel tuo primo messaggio.
Quello che volevo dire io è quindi questo: se io prendo una seconda base (qualunque) non ortonormale di v ${v_1',...,v_3'}$ evidentemente avrò per ogni $v_i $ le rispettive $(a_1',...,a_3') in R^3$ in questo caso però l'isomorfismo che lega i vettori v' ad a' non è più una isometria, quindi se calcolo il volume come $|detM|$ non funzionarà più che è lo stesso volume su V?
Come hai detto tu ogni isometria lega basi ortonormali a basi ortonormali, e qui non ho quel legame perché sto mandando una base non ortonormale in una non ortonormale (rispetto al prodotto scalar standard dei due spazi) => non è isometria.
-A questo punto faccio un passo in più e mi dico: se io dico che ${v_1',...,v_3'}$ è ortonormale in V per un secondo prodotto scalare (non quello classico), allora evidentemente avrò $(a_1',...,a_3') in R^3$ che avrà il prodotto scalare per cui le triple isomorfe alla base di V sono ortogonali.
A questo punto io ho una isometria perché mando base ortonormale in base ortonormale, quindi ora $|detM|$ è di nuovo il volume costruito coi vettori v1,v2,v3?
Edit: corrette alcune cosette.
Per parlare di volume devi poter parlare di area. Per poter parlare di area devi poter parlare di lunghezza. Il prodotto scalare definisce la lunghezza tramite la formula $|v|=sqrt(v*v)$. Il volume di un parallelepipedo generato da $v_1,...v_k$ è uguale a $sqrt(|det(L^tL)|)$ dove $L$ è la matrice le cui colonne sono $v_1,...,v_k$. Ma questo riguarda il prodotto scalare standard.
Se adesso cambi il prodotto scalare, cambiano anche le lunghezze, le aree e i volumi, e il volume di un parallelepipedo non è più uguale al determinante di cui sopra.
Se adesso cambi il prodotto scalare, cambiano anche le lunghezze, le aree e i volumi, e il volume di un parallelepipedo non è più uguale al determinante di cui sopra.
Sìpensavo non avessero più lo stesso volume per il discorso che fai, però pensavo di poterlo sempre calcolare con quel determinante.
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