Determinante e permutazioni
Ragazzi, avrei bisogno di una mano teorica.
Avrei bisogno di sapere la definizione di determinante in rapporto alle permutazioni su una matrice quadrata di ordine n.
So che il determinante è individuabile in una serie a segni alterni con esponente che è il numero di scambi effettuati, ma sinceramente non capisco la serie da che elementi è formata.
Grazie per le risposte!
Avrei bisogno di sapere la definizione di determinante in rapporto alle permutazioni su una matrice quadrata di ordine n.
So che il determinante è individuabile in una serie a segni alterni con esponente che è il numero di scambi effettuati, ma sinceramente non capisco la serie da che elementi è formata.
Grazie per le risposte!
Risposte
@Mr.Mazzarr,
la serie è la seguente:
\( \sum\limits_{f \in S_m} \sigma_{S_m}(f) \cdot a_{1f(1)} \cdot a_{2f(2)} \cdot ... \cdot a_{mf(m)} \) (o: \( \sum\limits_{f \in S_m} (\sigma_{S_m}(f) \cdot \prod\limits_{i=1}^m a_{if(i)})\) )
dove \(S_m:=\{f:I_m \to I_m | f \text{ è permutazione} \} \), e \( \sigma_{S_m} (f)\) è il segno della permutazione \( f \)... (CLIC
)
*dimenticavo: \(m \) è l'ordine della matrice quadrata (che tu hai indicato con \(n \)), ed \(I_m:=\{1,2,...,m\} \)
P.S.=Puoi vedere al capitolo 6 qui
"Mr.Mazzarr":
Ragazzi, avrei bisogno di una mano teorica.
Avrei bisogno di sapere la definizione di determinante in rapporto alle permutazioni su una matrice quadrata di ordine n.
So che il determinante è individuabile in una serie a segni alterni con esponente che è il numero di scambi effettuati, ma sinceramente non capisco la serie da che elementi è formata.
Grazie per le risposte!
la serie è la seguente:
\( \sum\limits_{f \in S_m} \sigma_{S_m}(f) \cdot a_{1f(1)} \cdot a_{2f(2)} \cdot ... \cdot a_{mf(m)} \) (o: \( \sum\limits_{f \in S_m} (\sigma_{S_m}(f) \cdot \prod\limits_{i=1}^m a_{if(i)})\) )
dove \(S_m:=\{f:I_m \to I_m | f \text{ è permutazione} \} \), e \( \sigma_{S_m} (f)\) è il segno della permutazione \( f \)... (CLIC
)*dimenticavo: \(m \) è l'ordine della matrice quadrata (che tu hai indicato con \(n \)), ed \(I_m:=\{1,2,...,m\} \)
P.S.=Puoi vedere al capitolo 6 qui
Se tu dovessi dare una definizione letterale (ovvero a parole e non scrivendo quella sommatoria) della definizione rispetto alle permutazioni, come diresti?
@Mr.Mazzarr,
mmmm prova a scrivere la sommatoria per esteso... ricordati che la cardinalità di \( S_m \) è \( m! \)...
*a parole non è facile, ho difficoltà pure io ad esprimerlo col linguaggio naturale
... ma con il linguaggio matematico è più semplice, l'importante che capisci il senso..!!
Saluti
p.s.=se hai dubbi chiedi... posso farti notare che dato un \( f \in S_m \) gli elementi da prendere nel calcolo del determinante della matrice quadrata sono sì indicizzati con \( i,j \) ma \(j \) è preso come l'immagine di \( i \) tramite \( f\), ovvero \(a_{if(i)} \)... cmq se scrivi la sommatoria per esteso ti sarà moooltoooo più chiaro!! 
"Mr.Mazzarr":
Se tu dovessi dare una definizione letterale (ovvero a parole e non scrivendo quella sommatoria) della definizione rispetto alle permutazioni, come diresti?
mmmm prova a scrivere la sommatoria per esteso... ricordati che la cardinalità di \( S_m \) è \( m! \)...
*a parole non è facile, ho difficoltà pure io ad esprimerlo col linguaggio naturale
... ma con il linguaggio matematico è più semplice, l'importante che capisci il senso..!!Saluti
p.s.=se hai dubbi chiedi...
posso farti notare che dato un \( f \in S_m \) gli elementi da prendere nel calcolo del determinante della matrice quadrata sono sì indicizzati con \( i,j \) ma \(j \) è preso come l'immagine di \( i \) tramite \( f\), ovvero \(a_{if(i)} \)... cmq se scrivi la sommatoria per esteso ti sarà moooltoooo più chiaro!!
Sì il problema è che in linguaggio matematico mi è chiaro, ma se all'orale la prof mi chiede di definire il determinante mi incespicherei un po' con le parole. Ad ora le direi che è la sommatoria a segni alterni eccetera eccetera.
@Mr.Mazzarr,
e si in effetti torto non posso darti... le scrivi subito la formula, tutto sommato è una "definizione" ... sempre se all'orale ti fa usare la lavagna o carta e penna!!
Saluti
"Mr.Mazzarr":
Sì il problema è che in linguaggio matematico mi è chiaro, ma se all'orale la prof mi chiede di definire il determinante mi incespicherei un po' con le parole. Ad ora le direi che è la sommatoria a segni alterni eccetera eccetera.
e si in effetti torto non posso darti... le scrivi subito la formula, tutto sommato è una "definizione"
... sempre se all'orale ti fa usare la lavagna o carta e penna!! Saluti
Potresti dire che, data una matrice quadrata d'ordine $n$, il suo determinante è la somma di tutti i possibili prodotti di $n$ elementi presi da righe e colonne diverse, ciascuno moltiplicato per il segno della permutazione che devi applicare agl'indici di riga degli $n$ elementi del prodotto per ottenere i rispettivi indici di colonna ... 
@fabricius,
tutto d'un fiato... 
Saluti
"_fabricius_":
Potresti dire che, data una matrice quadrata d'ordine $n$, il suo determinante è la somma di tutti i possibili prodotti di $n$ elementi presi da righe e colonne diverse, ciascuno moltiplicato per il segno della permutazione che devi applicare agl'indici di riga degli $n$ elementi del prodotto per ottenere i rispettivi indici di colonna ...
tutto d'un fiato...
Saluti
Una piccola precisazione al volo: quella lì non è una serie.
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