Determinante e lineare indipendenza
Buonasera a tutti!
Devo dimostrare la seguente proposizione:
"Data una matrice $Ain(K)^(n,n)$: $text{det}A!=0 iff text{le righe (o le colonne) di A sono linearmente indipendenti}$".
Ho provato l'implicazione $=>$ che è banale: se per assurdo i vettori fossero linearmente dipendenti, per una proprietà dei determinanti risulterebbe $text{det}A=0$, assurdo.
Come provo invece l'implicazione contraria?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Devo dimostrare la seguente proposizione:
"Data una matrice $Ain(K)^(n,n)$: $text{det}A!=0 iff text{le righe (o le colonne) di A sono linearmente indipendenti}$".
Ho provato l'implicazione $=>$ che è banale: se per assurdo i vettori fossero linearmente dipendenti, per una proprietà dei determinanti risulterebbe $text{det}A=0$, assurdo.
Come provo invece l'implicazione contraria?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
Ho trovato la seguente dimostrazione:
Le righe di A sono l.i. e quindi formano una base di $K^n$. Proprio perchè sono una base, possono generare qualsiasi tipo di vettore in $K^n$ , e quindi a
mezzo di trasformazioni elementari è possibile ricondurre A in 1, e quindi trasformeremo $text{det}A$ in $lambda*text{det}A =delta*text{det}1!=0$.
Non ho chiara l'affermazione: "e quindi a mezzo di trasformazioni elementari e' possibile ricondurre A in 1".
Qualcuno di voi saprebbe darmi qualche spiegazione in merito?
Le righe di A sono l.i. e quindi formano una base di $K^n$. Proprio perchè sono una base, possono generare qualsiasi tipo di vettore in $K^n$ , e quindi a
mezzo di trasformazioni elementari è possibile ricondurre A in 1, e quindi trasformeremo $text{det}A$ in $lambda*text{det}A =delta*text{det}1!=0$.
Non ho chiara l'affermazione: "e quindi a mezzo di trasformazioni elementari e' possibile ricondurre A in 1".
Qualcuno di voi saprebbe darmi qualche spiegazione in merito?
Nessun suggerimento?! L'affermazione continua a restarmi poco chiara ...
Ecco un suggerimento per la dimostrazione dell'implicazione mancante: l'idea è simile a quella che ho illustrato in questo 3d.
Si tratta di sfruttare il fatto che le colonne di $A$ formano una base per costruire la matrice inversa di $A$.
E l'esistenza dell'inversa di $A$, come ben sai, è condizione necessaria e sufficiente affinchè $"det"A\ne 0$.
Si tratta di sfruttare il fatto che le colonne di $A$ formano una base per costruire la matrice inversa di $A$.
E l'esistenza dell'inversa di $A$, come ben sai, è condizione necessaria e sufficiente affinchè $"det"A\ne 0$.
Ma come costruisco l'inversa se non so a priori che $text{det}A!=0$? Non ho chiara l'idea...
Denoto con [tex]e_1,...,e_n[/tex] i vettori della base canonica di [tex]\mathbb{K}^n[/tex] (visti come vettori colonna).
Siano [tex]a_1,...,a_n[/tex] nell'ordine le colonne di [tex]A[/tex] (elementi di [tex]\mathbb{K}^n[/tex]). Tali vettori formano una base di [tex]\mathbb{K}^n[/tex] per ipotesi.
Per ogni [tex]j=1,...,n[/tex] si ha che [tex]e_j[/tex] si può scrivere come combinazione lineare di [tex]a_1,...,a_n[/tex] nella forma
[tex]\displaystyle e_j=\sum_{k=0}^nb^k_ja_k[/tex]
dove i [tex]b^k_j[/tex] sono elementi di [tex]\mathbb{K}[/tex] (per ogni [tex]k,j=1,...,n[/tex]).
Resta definita la matrice [tex]B=(b^i_j)_{i,j=1,\dots,n}[/tex].
Ed ecco l'esercizio per te: dimostra che questa matrice [tex]B[/tex] è effettivamente l'inversa di [tex]A[/tex].
Siano [tex]a_1,...,a_n[/tex] nell'ordine le colonne di [tex]A[/tex] (elementi di [tex]\mathbb{K}^n[/tex]). Tali vettori formano una base di [tex]\mathbb{K}^n[/tex] per ipotesi.
Per ogni [tex]j=1,...,n[/tex] si ha che [tex]e_j[/tex] si può scrivere come combinazione lineare di [tex]a_1,...,a_n[/tex] nella forma
[tex]\displaystyle e_j=\sum_{k=0}^nb^k_ja_k[/tex]
dove i [tex]b^k_j[/tex] sono elementi di [tex]\mathbb{K}[/tex] (per ogni [tex]k,j=1,...,n[/tex]).
Resta definita la matrice [tex]B=(b^i_j)_{i,j=1,\dots,n}[/tex].
Ed ecco l'esercizio per te: dimostra che questa matrice [tex]B[/tex] è effettivamente l'inversa di [tex]A[/tex].
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