Determinante di una matrice 4x3
$ | ( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( -1 , 0 , -1 ),( 1 , 0 , 0 ) | $
Il calcolo di questo determinante richiede sempre l'uso del teorema degli orlati ? In generale trovo semplice applicare il teorema ad una matrice 3x4, qui mi sorgono dei dubbi... A me risulterebbe che |A| è diverso da 0 e dunque i vettori sono tutti linearmente indipendenti, è così ?
Il calcolo di questo determinante richiede sempre l'uso del teorema degli orlati ? In generale trovo semplice applicare il teorema ad una matrice 3x4, qui mi sorgono dei dubbi... A me risulterebbe che |A| è diverso da 0 e dunque i vettori sono tutti linearmente indipendenti, è così ?
Risposte
Non puoi calcolare il determinante di una matrice non quadrata.
Forse volevi trovare il rango della matrice.
Forse volevi trovare il rango della matrice.
Si non voglio calcolarne il valore esatto, voglio solo capire se è diverso o uguale a 0, così da dedurre rispettivamente se il rango è massimo o meno...
In pratica con gli orlati trovo che il determinante è diverso da 0, dunque rango della matrice massimo, in questo caso rango 3. Se il rango è 3 vuol dire che posso eliminare uno dei 4 vettori se voglio ottenere una base, è corretto ?
Per calcolare il rango ti conviene ridurre la matrice usando l'algoritmo di riduzione gaussiana (o comunque un qualsiasi algoritmo che porti ad una forma ridotta dello stesso tipo).
Oppure orlare il minore $M= |(-1,1),(0,1)|=-1!=0$
Non conosco algoritimi di riduzione... ho orlato un minore fondamentale. Per concludere il discorso, convenite con me che qualunque vettore io elimini tra quei 4 ho ottenuto una base ?
"Asterix93":
Non conosco algoritimi di riduzione... ho orlato un minore fondamentale. Per concludere il discorso, convenite con me che qualunque vettore io elimini tra quei 4 ho ottenuto una base ?
Una base di quale spazio? di $RR^3$?
Il tuo problema è determinare il rango di quella matrice, ed è sufficiente utilizzare il teorema degli orlati (Kronecker).
Allora in pratica l'esercizio mi chiede di trovare una base dell'immagine di un'applicazione lineare assegnata. Siccome l'applicazione è del tipo R^4--->R^3 . Si devo trovare una base di R^3. Credo basti eliminare uno di quei 4 vettori ottenuti calcolati l'immagine di f mediante il riferimento naturale di R^4.
Ma come ti è stata definita la matrice associata ad una trasformazione rispetto ad una particolare base? Solitamente una matrice \(M \in \mathbb R^{4 \times 3}\) rappresenta una trasformazione \( f(v) = M\,v \) dove \( v \) è un vettore di \( \mathbb R^3 \) rappresentato come un vettore colonna e l'immagine è un vettore di \( \mathbb R^4 \). Una base di questa immagine è data dalle colonne della matrice (se il rango è massimo).
Se però tu dici che la tua matrice rappresenta una trasformazione \( \mathbb R^4 \to \mathbb R^3, \) allora vuol dire che esegui la moltiplicazione dalla parte opposta e usi vettori riga invece che colonna (è questa la convenzione che usate?). In questo caso una base dell'immagine è data dalle righe della matrice (devi prendere un insieme di \(\mathrm{rank}(M)\) vettori indipendenti ovviamente).
EDIT: L'algoritmo di riduzione gaussiana di cui parlavo è l'algoritmo che utilizzi per risolvere i sistemi lineari in cui esegui operazioni elementari per ottenere una matrice ridotta per righe. Queste operazioni elementari preservano l'immagine della trasformazioni e fanno in modo che il rango della matrice sia uguale al numero di righe non nulle alla fine della riduzione. Le righe non nulle così ottenute formano una base dell'immagine se si usano vettori riga. Se si usano vettori colonna conviene quindi fare la riduzione per colonne ottenendo una matrice ridotta per colonne (basta fare le operazioni elementari sulle colonne invece che sulle righe).
Se però tu dici che la tua matrice rappresenta una trasformazione \( \mathbb R^4 \to \mathbb R^3, \) allora vuol dire che esegui la moltiplicazione dalla parte opposta e usi vettori riga invece che colonna (è questa la convenzione che usate?). In questo caso una base dell'immagine è data dalle righe della matrice (devi prendere un insieme di \(\mathrm{rank}(M)\) vettori indipendenti ovviamente).
EDIT: L'algoritmo di riduzione gaussiana di cui parlavo è l'algoritmo che utilizzi per risolvere i sistemi lineari in cui esegui operazioni elementari per ottenere una matrice ridotta per righe. Queste operazioni elementari preservano l'immagine della trasformazioni e fanno in modo che il rango della matrice sia uguale al numero di righe non nulle alla fine della riduzione. Le righe non nulle così ottenute formano una base dell'immagine se si usano vettori riga. Se si usano vettori colonna conviene quindi fare la riduzione per colonne ottenendo una matrice ridotta per colonne (basta fare le operazioni elementari sulle colonne invece che sulle righe).
"Asterix93":
$ | ( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( -1 , 0 , -1 ),( 1 , 0 , 0 ) | $
Riguardo al rango direi che ogni tanto si fanno molti più calcoli di quanti sono necessari. È immediato verificare che la prima colonna è indipendente dalla seconda colonna e che lo spazio da loro generato non può contenere la terza colonna. Pertanto le tre colonne sono banalmente linearmente indipendenti, cioé il rango è massimo
.
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