Determinante Di Matrici

[Laude]

Buongiorno,
ho provato a calcolare il determinante della seguente Matrice:

$ ((-1,2,3),(4,0,5),(-2,1,6)) $

sfruttando la seguente relazione $det= (-1)^(i+j) det A^(ij)$

Il risultato ottenuto è stato $-21$

Provando però a trasformare la matrice in questione in una matrice triangolare superiore, mediante l'algoritmo di Gauss, ho ottenuto $det= 3$

Ho sbagliato qualcosa? Purtroppo sono alle prime armi e ho difficoltà anche nell'applicare alcune proprietà di Laplace inerenti ai determinanti. Ad esempio mi riesce difficile individuare, anche a "colpo d'occhio", una riga o colonna che sia combinazione lineare di tutte le altre righe o colonne della matrice! Help!!!..

[Laude]

"TeM":Ciao Laude, innanzitutto ben iscritto/a.

Dunque, data una matrice quadrata \(A\), applicando la riduzione a scalini tramite mosse
di Gauss si ottiene la matrice quadrata \(A'\). Ebbene, in generale, devi ricordare che:

[*:2gg80sf5] gli autovalori/autovettori di \(A\) non sono imparentati con quelli di \(A'\);

[/*:m:2gg80sf5]
[*:2gg80sf5] il determinante di \(A\) è imparentato con quello di \(A'\) e in particolare:



[*:2gg80sf5] se si somma algebricamente ad una riga un multiplo di un'altra riga: \(\det A = \det A'\);

[/*:m:2gg80sf5]
[*:2gg80sf5] se si effettuano \(n\) scambi di righe: \(\det A = (-1)^n \det A'\);

[/*:m:2gg80sf5]
[*:2gg80sf5] se si moltiplica una riga per \( k \ne 0\): \(\det A = \frac{\det A'}{k}\).[/*:m:2gg80sf5][/list:u:2gg80sf5][/*:m:2gg80sf5][/list:u:2gg80sf5]
Morale: per calcolare gli autovalori/autovettori di una matrice non è possibile ridurla a scala,
mentre per il calcolo del determinante tale operazione è applicabile a patto di tenere conto
delle regolette appena illustrate.


P.S.: il determinante della matrice proposta è pari a \(-51\).

Bene, ma in tutto questo non ho ancora afferrato la questione riguardante l'equivalenza tra Matrice Quadrata e Matrice Quadrata Ridotta (Triangolare)! Se ho ben inteso, la Matrice Triangolare è dunque equivalente alla Matrice di partenza, soltanto se in quest'ultima si effettuano "scambi di righe o colonne", "si moltiplica una riga o colonna per uno scalare", "si somma algebricamente ad una riga il multiplo di un'altra riga". Giusto? Inoltre, il metodo dell'Eliminazione di Gauss è applicabile sempre, è valido per ogni Matrice, in ogni caso?

Detto questo, ho calcolato i determinanti delle seguenti Matrici:

$A= ((9,-3,2), (2, -2, -6), (4,0,4))$ $B= ((3,4,-1), (-1,-1,-2), (0,-1, 2))$

I risultati ottenuti sono:

$detA= 5$ $detB= -9$
Corretti? Grazie per il supporto!!!

P.S. Perdonami, ma almeno per ora non parliamo di "autovalori/autovettori/vettori" perché sono proprio agli inizi dell'Algebra Lineare e finora ho solo incontrato termini, ormai a me più familiari, del tipo: "Matrici", "Righe" e "Colonne", "Sistemi Omogenei e Non Omogenei di Equazioni Lineari a più incognite". Grazie ancora!!

[Laude]

"TeM":Stai facendo confusione. Non ho accennato al fatto che \(A\) sia equivalente ad \(A'\) dato che le due matrici sono
a tutti gli effetti DIVERSE. Sopra ti ho solo indicato come calcolare il determinante di \(A\) conoscendo quello di
\(A'\) (che essendo una matrice triangolare è banalmente pari al prodotto degli elementi sulla diagonale).

In ogni modo, il metodo di eliminazione di Gauss non si è soliti applicarlo per il calcolo del determinante (non
ci si guadagna molto, tanto vale applicare direttamente il teorema di Laplace), bensì è di estrema utilità nel
determinare la soluzione di un sistema di equazioni lineari (vedi, ad esempio, qui) e per calcolare il rango o
l'inversa di una matrice. E' proprio in quest'ultimi casi che vi è "equivalenza", in particolare il rango di \(A\) coin-
cide con quello di \(A'\) a prescindere dalle mosse di Gauss applicate e lo stesso vale nella soluzione di un sistema
lineare, ove \(A'\) permette di banalizzarne la risoluzione.

Dulcis in fundo, autovalori/autovettori li vedrai più avanti, per ora lascia perdere quella nota.
Piuttosto ti consiglio di mostrarci i conti circa il calcolo del determinante di una matrice qua-
drata scelta a piacere, così possiamo vedere dove sbagli (vedasi qui e qui).

Grazie TeM,
In ogni caso ho ripetuto i calcoli per entrambe le Matrici: erano errori di distrazione! ma il determinante di

$B= ((3,4,-1), (-1,-1,-2), (0,-1,-2))$ mi risulta sempre uguale a $-9$

Detto questo, ti pongo un altro quesito:
Stiamo affrontando le proprietà dei determinanti e sul mio libro di testo, la seguente proprietà:
"Sommando ad una riga (colonna) di una matrice una combinazione lineare di altre righe (colonne), il determinante non cambia"
- che tra l'altro è una variante della proprietà:
"Sommando ad una riga (colonna) un multiplo di un'altra riga (colonna), il determinante non cambia"
-
viene spiegata con l'esempio che segue:

$det ((0,1,-1,-2), (2,-1,2,-3), (1,4,-3,2), (-5,0,2,1))$ sommando alla $3^a$ colonna la $2^a$ si ottiene,

$det ((0,1,0,-2), (2,-1,1,-3), (1,4,1,2), (-5,0,2,1))$ sommando alla $4^a$ colonna la $2^a$ moltiplicata per 2 si ottiene,

$det ((0,1,0,0), (2,-1,1,-5), (1,4,1,10), (-5,0,2,1))= 124$ Il tutto sviluppato (ovviamente) secondo la prima riga.

Premesso che il concetto di rango non è stato ancora affrontato, vorrei riuscire a comprendere appieno i passaggi dell'esercizio svolto! In particolare, vorrei capire perché proprio la $3^a$ colonna, stando a quanto riportato in precedenza, è combinazione lineare di tutte le altre e perché è stata sommata proprio alla $2^a$ colonna della Matrice. Sarà anche semplice, magari la risposta ce l'ho davanti agli occhi, ma non riesco proprio a vederla!! Help!!...