Determinante

[simysomy]

come si calcola il determinante di una matrice non quadrata, cioè che nn sia una 2x2 o 3x3?
non mi interessa conoscere la teoria o il teorema correlato ma un procedimento semplice e chiaro!!
grazie,
simona

[Gi81]

Prima cosa: le matrici quadrate sono tutte e sole le matrici che hanno numero di righe pari a numero di colonne.
Quindi non solo 2x2 o 3x3, ma anche 4x4, 5x5, 1x1.... In generale, $AA A in cc(M)_(nxn)$, con $n in NN$.
Le matrici non quadrate sono tutte le altre, cioè quelle che hanno numero di righe diverso dal numero di colonne.
In generale, $AA B in cc(M)_(mxn)$, con $m,n in NN$, $m!=n$. Vengono dette matrici rettangolari. Per queste matrici non è definito il determinante.
Infatti, come puoi vedere qui, il determinante è una funzione che associa ad ogni matrice quadrata $A$ uno scalare (se siamo in $RR$ altro non è che un numero reale) che ne sintetizza alcune proprietà importanti.

Riassumendo, il determinante di una matrice non quadrata non si può fare. ok?

[simysomy]

ok perfetto...non posso calcolare il determinante di una matrice non quadrata.
questo mi serviva per avere un metodo più veloce per verificare l'indipendenza lineare di vettori:
invece che risolvere un sistema, quando ho dubbi sull'indipendenza tra vettori, preferisco calcolare un determinante di matrice.
allora com posso fare?

[Gi81]

in quel caso devi guardare il rango della matrice. (immagino che tu sappia cos'è)
Tu hai uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita, una sua base $cc(B)$ e, di conseguenza, la dimensione dello spazio vettoriale, chiamiamola $n$.
Ti vengono dati $m$ vettori $v_1=(v_1^1,v_1^2,....,v_1^n)$, $v_2=(v_2^1,v_2^2,...,v_2^n)$,......$v_m=(v_m^1,v_m2,...,v_m^n)$.
Ti viene chiesto di verificare, sfruttando le proprietà delle matrici, se questi vettori sono linearmente indipendenti. Distinguiamo tre casi:
1) $m>n$ : I vettori sono sicuramente lineramente dipendenti, quindi qui non ci sono calcoli matriciali da fare.
2) $m=n$ : La matrice $A in cc(M)_(nxn)$ che si forma è quadrata, e per verificare l'indipendenza basta vedere se $det(A)!=0$.
3) $m

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[angus89]

Aggingo qualche hint per il calcolo effettivo del rango...

hai $m$: $v_1,v_2,...,v_m$ vettori di $R^n$ e vuoi verificare che siano linearmente indipendenti, o meglio, qual'è la dimensione dello spazio che generano.
Considera la matrice $A$ che ha per colonne i vettori $v_1,....,v_m$

Allora definiamo:
Il rango della matrice $A$ è il più grande $k$ tale che "tutti" i determinanti delle sottomatrici $k * k$ sono non nulli.

Teorema
$k$ è la dimensione dello spazio generato dai tuoi vettori.
Se $k=m$ allora i tuoi vettori erano linearmente indipendenti...

Poi il resto te lo ha detto Gi8 e credo ci sia da aggiungere altro...

Chiaramente ci sono svariati teoremi per fare meno conti ma io ne conosco pochi ed è meglio non far confuzione...
Prova a farti esempi numerici con dimensione bassa...