Determinante

[Fab996]

Sia A una matrice $n*n$, e sia $detA=0$. Quali affermazioni sono sicuramente vere?
rangoA =n-1
l'applicazione $f:R^(n)->R^(n),f(v)=Av$ non è iniettiva
A non è diagonalizzabile
Il sistema AX=0 ammette infinite soluzioni
Null(A)=${0R^(n)}$
le colonne di A sono dipendenti

Per me valgono-
le colonne di A sono dipendenti
l'applicazione $f:R^(n)->R^(n),f(v)=Av$ non è iniettiva (dato che il determinante è 0, allora il rango non sarà massimo, allora la dimensione dell'immagine non è uguale alla dimensione dello spazio di partenza).

[Davi901]

Allora:
Sia $A\in M_n(K)$ tale che $det(A)=0$.

1. Il rango è pari a $n-1$. Falso!
Basta prendere una matrice 3x3 con 3 righe proporzionali. In tal caso $n=3$ ma il rango è 1.

2.Vero! Sappiamo che $A$ non è invertibile, quindi il suo $rank(A)
3.Falso! Una matrice diagonale è ovviamente diagonalizzabile e se tale matrice ha uno 0 sulla diagonale allora non è invertibile.

4.Falso! Basta guardare la dimostrazione che ho fatto per il secondo punto.
5.Vero! Beh il determinante di A è nullo quindi i vettori che costituiscono le colonne di A sono lin dipendenti.

[Fab996]

"Davi90":Allora:
Sia $A\in M_n(K)$ tale che $det(A)=0$.

1. Il rango è pari a $n-1$. Falso!
Basta prendere una matrice 3x3 con 3 righe proporzionali. In tal caso $n=3$ ma il rango è 1.

2.Vero! Sappiamo che $A$ non è invertibile, quindi il suo $rank(A)
3.Falso! Una matrice diagonale è ovviamente diagonalizzabile e se tale matrice ha uno 0 sulla diagonale allora non è invertibile.

4.Falso! Basta guardare la dimostrazione che ho fatto per il secondo punto.
5.Vero! Beh il determinante di A è nullo quindi i vettori che costituiscono le colonne di A sono lin dipendenti.

Grazie,allora avevo fatto bene, comunque se la domanda fosse stata se ho un'applicazione iniettiva, quali proprietà potevo dedurre? Mentre se l'applicazione fosse stata suriettiva?

[Davi901]

Direi che iniettiva lo può essere solo se la matrice è invertibile...

[azali.sa]

scusate visto che il post riguarda il determinante qualcuno saprebbe dirmi come posso risolvere questo esercizio??

SE A è una matrice nxn tale che $ A^-2= 8A^T $ calcolate il det(A)

[Davi901]

"Azali":scusate visto che il post riguarda il determinante qualcuno saprebbe dirmi come posso risolvere questo esercizio??

SE A è una matrice nxn tale che $ A^-2= 8A^T $ calcolate il det(A)

Beh ovviamente la matrice $A$ è invertibile altrimenti non avrebbe senso che nell'uguaglianza ci sia $A^{-2}$.
E' utile moltiplicare l'equazione per $A^2$ e ti rimane:
$$8A^{T}A^2=I$$
Allora per il Teorema di Binet hai che $8det(A^{T}A^2)=8det(A^{T})(det(A))^2$
Ma sappiamo che $det(A^{T})=det(A)$ e allora l'equazione diventa $8(det(A))^3=1(=det(I))$
Quindi $det(A)^3=\frac{1}{8}$, cioè $det(A)=\frac{1}{2}$