Determinante
salve a tutti,
su wikipedia c'è la seguente formula del determinante
$ det(A):=sum_(sigma =Sn ) sgn(sigma)prod_(i = 1)^(n) ai,sigma(i) $
con Sn l'insieme delle permutazioni dell'insieme numerico e sgn(sigma) denota il segno delle permutazione (+1 se pari, -1 se dispari).
ora. mettiamo che io abbia:
$ | ( a11 , a12 , a13 ),( a21 , a22 , a23 ),( a31 , a32 , a33 ) | $
come calcolo il determinate usando tale definizione? so cosa siano le permutazioni, ma non ho capito cosa sia nella formula sigma(i).
grazie
su wikipedia c'è la seguente formula del determinante
$ det(A):=sum_(sigma =Sn ) sgn(sigma)prod_(i = 1)^(n) ai,sigma(i) $
con Sn l'insieme delle permutazioni dell'insieme numerico e sgn(sigma) denota il segno delle permutazione (+1 se pari, -1 se dispari).
ora. mettiamo che io abbia:
$ | ( a11 , a12 , a13 ),( a21 , a22 , a23 ),( a31 , a32 , a33 ) | $
come calcolo il determinate usando tale definizione? so cosa siano le permutazioni, ma non ho capito cosa sia nella formula sigma(i).
grazie
Risposte
È l'indice della colonna.
Se ti può essere utile, per le matrici 3x3 (a meno che non ci sia una riga/colonna con uno o due zeri, in tal caso sviluppo secondo Laplace) è più pratica la regola di Sarrus:
\( det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=aei+bfg+cdh-(gec+hfa+idb) \)
\( det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=aei+bfg+cdh-(gec+hfa+idb) \)
ok, grazie. quello che non capisco è cosa sia sigma(i). se infatti è la permutazione, otterrei che quando i=3, sigma (i)=3!=6. no?
Ho l'impressione che tu non sappia cosa sia una permutazione. Cos'è una permutazione secondo te?
La definizione che è so è: le permutazioni semplici di classe n sono tutti i raggruppamenti che si ottengono prendendo ogni volta gli n oggetti così che essi differiscano solo per l'ordine degli elementi.
Il numero di permutazioni è n!
Se n! è dispari avrò il segno meno per il calcolo del determinante, se pari il più.
Serve un'altra definizione?
Scusatemi e grazie ancora.
Il numero di permutazioni è n!
Se n! è dispari avrò il segno meno per il calcolo del determinante, se pari il più.
Serve un'altra definizione?
Scusatemi e grazie ancora.
È quasi giusto fino all'\(n!\). Una definizione migliore è che una permutazione è una funzione biiettiva dall'insieme in se stesso. Il loro numero è effettivamente \(n!\), ma questo va inteso come che un insieme di cardinalità \(\displaystyle n \) ammette \(\displaystyle n! \) funzioni biiettive distinte. Quello che scrivi dopo è semplicemente falso.
Ci sono varie definizioni di permutazione pari e dispari e dato che non hai sicuramente fatto algebra astratta ti conviene rimanere sul fatto che le permutazioni pari hanno determinante \(\displaystyle 1 \) e le funzioni dispari \(\displaystyle -1 \) (la permutazione degli elementi di una base è una applicazione lineare che ha esattamente un uno per ogni colonna e un uno per ogni riga). In genere una permutazione pari è definita come una permutazione che si può scrivere come composizione di un numero pari di particolari permutazioni dispari, ma non ha importanza.
Venendo a quella formula. L'insieme \(\displaystyle S_3 \) possiede \(\displaystyle 3! = 6 \) elementi: \(\displaystyle S_3 = \{ \mathrm{id}, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \tau_1, \tau_2 \} \)
Usando la notazione più estesa (l'immagine di un elemento è scritto sotto quell'elemento):
\(\displaystyle \mathrm{id} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \quad \mathrm{\tau_1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad \mathrm{\tau_2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \mathrm{\sigma_1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \quad \mathrm{\sigma_2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \mathrm{\sigma_3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \)
La prima riga è pari e la seconda riga è dispari. Scrivo le matrici di \(\displaystyle \tau_1 \) e \(\displaystyle \sigma_1 \) così puoi controllare se ti va.
\(\displaystyle \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \tau_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Veniamo ora alla tua formula del determinante. Tra l'altro non è \(\displaystyle \sigma = S_n \) ma \(\displaystyle \sigma\in S_n \). Insomma se fosse \(\displaystyle S_n = n! \), che senso aveva tutta quella scrittura?
\(\displaystyle \begin{align}
\det(A) &= \sum_{\sigma\in S_3} \mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^3 a_{i,\sigma(i)} \\
&= \prod_{i=1}^3 a_{i,\mathrm{id}(i)} + \prod_{i=1}^3 a_{i,\tau_1(i)} + \prod_{i=1}^3 a_{i,\tau_2(i)} - \prod_{i=1}^3 a_{i,\sigma_1(i)} -\prod_{i=1}^3 a_{i,\sigma_2(i)} - \prod_{i=1}^3 a_{i,\sigma_3(i)} \\
&= a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} -a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} \\
\end{align} \)
Che non è altro che la formula di Sarrus
. Comunque in genere si usa lo sviluppo di Laplace per \(\displaystyle n >3 \) e alcuni lo usano anche per le \(\displaystyle 3\times 3 \).
Ci sono varie definizioni di permutazione pari e dispari e dato che non hai sicuramente fatto algebra astratta ti conviene rimanere sul fatto che le permutazioni pari hanno determinante \(\displaystyle 1 \) e le funzioni dispari \(\displaystyle -1 \) (la permutazione degli elementi di una base è una applicazione lineare che ha esattamente un uno per ogni colonna e un uno per ogni riga). In genere una permutazione pari è definita come una permutazione che si può scrivere come composizione di un numero pari di particolari permutazioni dispari, ma non ha importanza.
Venendo a quella formula. L'insieme \(\displaystyle S_3 \) possiede \(\displaystyle 3! = 6 \) elementi: \(\displaystyle S_3 = \{ \mathrm{id}, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \tau_1, \tau_2 \} \)
Usando la notazione più estesa (l'immagine di un elemento è scritto sotto quell'elemento):
\(\displaystyle \mathrm{id} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \quad \mathrm{\tau_1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad \mathrm{\tau_2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \mathrm{\sigma_1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \quad \mathrm{\sigma_2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \mathrm{\sigma_3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \)
La prima riga è pari e la seconda riga è dispari. Scrivo le matrici di \(\displaystyle \tau_1 \) e \(\displaystyle \sigma_1 \) così puoi controllare se ti va.
\(\displaystyle \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \tau_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Veniamo ora alla tua formula del determinante. Tra l'altro non è \(\displaystyle \sigma = S_n \) ma \(\displaystyle \sigma\in S_n \). Insomma se fosse \(\displaystyle S_n = n! \), che senso aveva tutta quella scrittura?
\(\displaystyle \begin{align}
\det(A) &= \sum_{\sigma\in S_3} \mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^3 a_{i,\sigma(i)} \\
&= \prod_{i=1}^3 a_{i,\mathrm{id}(i)} + \prod_{i=1}^3 a_{i,\tau_1(i)} + \prod_{i=1}^3 a_{i,\tau_2(i)} - \prod_{i=1}^3 a_{i,\sigma_1(i)} -\prod_{i=1}^3 a_{i,\sigma_2(i)} - \prod_{i=1}^3 a_{i,\sigma_3(i)} \\
&= a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} -a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} \\
\end{align} \)
Che non è altro che la formula di Sarrus
. Comunque in genere si usa lo sviluppo di Laplace per \(\displaystyle n >3 \) e alcuni lo usano anche per le \(\displaystyle 3\times 3 \).
Perfetto: ho capito.
Mi scuso per le imprecisioni, ma, trattando le trasformazioni geometriche (risolubili con il metodo di Cramer) al liceo, mi è venuta voglia di introdurmi in generale all'algebra lineare, così da farmi un'idea di cosa si trattasse prima di incontrarla all'università.
Ancora grazie, molto utile
Mi scuso per le imprecisioni, ma, trattando le trasformazioni geometriche (risolubili con il metodo di Cramer) al liceo, mi è venuta voglia di introdurmi in generale all'algebra lineare, così da farmi un'idea di cosa si trattasse prima di incontrarla all'università.
Ancora grazie, molto utile
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