Determina matrice A^3=-A
salve!!! vorrei proporti questo esercizio di un tema di esame di algebra lineare,per chiedere se lo svolgimento è corretto..
Si indichi un matrice inveribile A$in$ $CC$ 3x3
avente autospazi { x$in$ $CC$ | ix1+x2-ix3=0} e < $((i),(1),(-i))$ >
e tale che A^3=-A
io vorrei procedere così intanto risolvere l'equazione ix1+x2-ix3=0 trovando cosi 3 soluzioni linearmente indipendenti tra di loro e con $((i),(1),(-i))$ a questo punto calcolerei il det della matrice per vedere se è invertibile.
per dimostrare che A^3=-A come posso fare?!?! dimostrare che detA^3=(det-A)^3 (teorema di bine) è sufficiente? oppure
moltiplico A^3=-A per -A^-1 cosicche da avere che A^2=I ?!?!
grazie spero possiate aiutarmi!!!!!
Si indichi un matrice inveribile A$in$ $CC$ 3x3
avente autospazi { x$in$ $CC$ | ix1+x2-ix3=0} e < $((i),(1),(-i))$ >
e tale che A^3=-A
io vorrei procedere così intanto risolvere l'equazione ix1+x2-ix3=0 trovando cosi 3 soluzioni linearmente indipendenti tra di loro e con $((i),(1),(-i))$ a questo punto calcolerei il det della matrice per vedere se è invertibile.
per dimostrare che A^3=-A come posso fare?!?! dimostrare che detA^3=(det-A)^3 (teorema di bine) è sufficiente? oppure
moltiplico A^3=-A per -A^-1 cosicche da avere che A^2=I ?!?!
grazie spero possiate aiutarmi!!!!!
Risposte
Per esempio:
$[A((1),(0),(1))=-i((1),(0),(1))] ^^ [A((0),(1),(-i))=-i((0),(1),(-i))] ^^ [A((i),(1),(-i))=i((i),(1),(-i))] rarr$
$rarr [A=((1,0,i),(0,1,1),(1,-i,-i))((-i,0,0),(0,-i,0),(0,0,i))((1,0,i),(0,1,1),(1,-i,-i))^(-1)]$
$[A((1),(0),(1))=-i((1),(0),(1))] ^^ [A((0),(1),(-i))=-i((0),(1),(-i))] ^^ [A((i),(1),(-i))=i((i),(1),(-i))] rarr$
$rarr [A=((1,0,i),(0,1,1),(1,-i,-i))((-i,0,0),(0,-i,0),(0,0,i))((1,0,i),(0,1,1),(1,-i,-i))^(-1)]$
ah bene bella idea grazie!!!
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