Descrivere un particolare insieme in un'applicazione lineare
Probabilmente è una stupidaggine, e probabilmente pure il titolo è sbagliato, ma tant'è che non riesco a venirne fuori.
L'esercizio è questo:
Sia $ f : R^4 -> R^3 $ l'applicazione lineare indotta dalla matrice:
$ A = ( ( 2 , 0 , 2 , 2 ),( 3 , 1 , 2 , 4 ),( 0 , 2 , 2 , 2 ) ) $
relativamente alle basi canoniche del dominio e del codominio.
1. Dare una base per il kernel ed una base per l'immagine di f (suggerimento: per il
kernel, usate il metodo di Gauss-Jordan).
2. Descrivere esplicitamente l'insieme $ v = { (x_1; x_2; x_3; x_4) in R^4 : f(v) = 2e_1 + 3e_2 } $.
L'esercizio 1 l'ho fatto, mi viene $ (( -2, 0, 1, 1)) $ per la base del Kernel e $ ((2, 3, 0)), ((0, -1, 2)), ((2, 2, 2)) $ per quella dell'immagine, spero sia giusto
.
L'esercizio 2 non riesco proprio ad impostarlo. Ho cercato si capire come farlo tramite le definizioni sul libro ma proprio non ne vengo fuori.
L'unico modo che mi viene in mente è mettere a sistema $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ con i coefficienti della matrice, in modo da formare la combinazione lineare fra gli elementi del dominio e i coefficienti sulla matrice, ponendo il risultato uguale a 2, 3 e 0 rispettivamente.
Ma mi viene un sistema che non riesco a risolvere, mi sembra debba esserci un metodo + semplice.
Help!!
L'esercizio è questo:
Sia $ f : R^4 -> R^3 $ l'applicazione lineare indotta dalla matrice:
$ A = ( ( 2 , 0 , 2 , 2 ),( 3 , 1 , 2 , 4 ),( 0 , 2 , 2 , 2 ) ) $
relativamente alle basi canoniche del dominio e del codominio.
1. Dare una base per il kernel ed una base per l'immagine di f (suggerimento: per il
kernel, usate il metodo di Gauss-Jordan).
2. Descrivere esplicitamente l'insieme $ v = { (x_1; x_2; x_3; x_4) in R^4 : f(v) = 2e_1 + 3e_2 } $.
L'esercizio 1 l'ho fatto, mi viene $ (( -2, 0, 1, 1)) $ per la base del Kernel e $ ((2, 3, 0)), ((0, -1, 2)), ((2, 2, 2)) $ per quella dell'immagine, spero sia giusto
.L'esercizio 2 non riesco proprio ad impostarlo. Ho cercato si capire come farlo tramite le definizioni sul libro ma proprio non ne vengo fuori.
L'unico modo che mi viene in mente è mettere a sistema $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ con i coefficienti della matrice, in modo da formare la combinazione lineare fra gli elementi del dominio e i coefficienti sulla matrice, ponendo il risultato uguale a 2, 3 e 0 rispettivamente.
Ma mi viene un sistema che non riesco a risolvere, mi sembra debba esserci un metodo + semplice.
Help!!
Risposte
Hai sbagliato il punto 1 in quanto i vettori di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] non hanno 4 componenti, stesse cose invertite per l'immagine!
Scusa c'era un errore nella consegna ora é corretta.
Qualche idea?
Qualche idea?
L'errore persiste! -_-
EDIT: Ho letto male, chiedo venia
EDIT: Ho letto male, chiedo venia
La tua risposta mi lascia perplesso. Non vorrei che studiando da solo, abbia memorizzato dei concetti sbagliati.
Allora, da quel che ho capito, il kernel di un'applicazione lineare è un sottoinsieme K del dominio V (in questo caso $ R^4 $) tale che tutte le funzioni f(k) con $ k in K $ vanno nell'elemento neutro del codominio W (nel mio caso $ R^3 $).
Quindi mi aspetto che la base del kernel di V, che ha dimensione 4, abbia un vettore di 4 elementi.
Per quanto riguarda l'immagine, essa è un sottoinsime del codominio W, tale che $ AA v in V, f(v) in W$, quindi mi aspetto che la sua base abbia vettori di 3 componenti, essendo W di dimensione 3.
Come ultima cosa, la dim(V) = dim( kernel(V) ) + dim( img(V) ), quindi 4 = 1 + 3, per questo ero quasi sicuro che i conti tornassero.
Se ho scritto delle stupidaggini, ti prego di darmi qualche indizio su dove ho sbagliato, perche fino ad ora gli esercizi li ho risolti tutti cosí ed ero convinto andassero bene!!
Grazie.
Allora, da quel che ho capito, il kernel di un'applicazione lineare è un sottoinsieme K del dominio V (in questo caso $ R^4 $) tale che tutte le funzioni f(k) con $ k in K $ vanno nell'elemento neutro del codominio W (nel mio caso $ R^3 $).
Quindi mi aspetto che la base del kernel di V, che ha dimensione 4, abbia un vettore di 4 elementi.
Per quanto riguarda l'immagine, essa è un sottoinsime del codominio W, tale che $ AA v in V, f(v) in W$, quindi mi aspetto che la sua base abbia vettori di 3 componenti, essendo W di dimensione 3.
Come ultima cosa, la dim(V) = dim( kernel(V) ) + dim( img(V) ), quindi 4 = 1 + 3, per questo ero quasi sicuro che i conti tornassero.
Se ho scritto delle stupidaggini, ti prego di darmi qualche indizio su dove ho sbagliato, perche fino ad ora gli esercizi li ho risolti tutti cosí ed ero convinto andassero bene!!
Grazie.
Nella definizione di nucleo devi parlare di immagini e non funzioni al variare di [tex]$k$[/tex]!
Nella definizione d'insieme immagine, solo per estetica, deve invertire scrivendo "[tex]$\forall v\in\mathbb{V},\,f(v)\in\mathbb{W}$[/tex]".
Infine, hai scritto un'eguaglianza con 3 eguali; il secondo lo dovresti sostiruire con un [tex]$+$[/tex].
A meno dei conti (che non ho fatto) ti dovresti trovare!
Scusa ancora ma non avevo letto bene la correzione
!
Nella definizione d'insieme immagine, solo per estetica, deve invertire scrivendo "[tex]$\forall v\in\mathbb{V},\,f(v)\in\mathbb{W}$[/tex]".
Infine, hai scritto un'eguaglianza con 3 eguali; il secondo lo dovresti sostiruire con un [tex]$+$[/tex].
A meno dei conti (che non ho fatto) ti dovresti trovare!
Scusa ancora ma non avevo letto bene la correzione
!
Ok, correggo, subito, scusa ma in questo periodo sono terribilmente distratto.
Per il secondo esercizio ti viene in mente un aiuto da darmi al volo?
Grazie.
Per il secondo esercizio ti viene in mente un aiuto da darmi al volo?
Grazie.
Chi sono gli [tex]$e_1$[/tex] ed [tex]$e_2$[/tex]?
Le basi canoniche, in questo contesto dovrebbe trattarsi di quelle del codominio, quindi $ e_1 = (1, 0, 0), e_2 = (0, 1, 0)$
L'insieme che tu devi rappresentare è dato dal sistema [tex]$A\times(x_1;x_2;x_3;x_4)^T=(2;3;0)^T$[/tex]
Si, hai ragione, il tuo suggerimento è giusto, e ti ringrazio.
Ho bisogno peró di capire come funzionano le cose più a fondo, per non svolegere gli esercizi meccanicamente, ma capire ciò che sto facendo.
Ti chiedo quindi di darmi un ultimo aiuto per capire una cosa:
La consegna dice: Descrivere esplicitamente l'insieme $ v={(x_1;x_2;x_3;x_4) in R^4 : f(v)= 2e_1+3e_2} $ .
Io tramite il sistema che deriva dalla moltiplicazione [tex]$A\times(x_1;x_2;x_3;x_4)^T=(2;3;0)^T$[/tex], ottengo più di una soluzione, dipende da cosa scelgo come $x_3$ e $x_4$, dato che $x_1$ e $x_2$ dipendono da loro.
Ad esempio 2 risultati possono essere: $a = (-2, -1, 2, 1)$ oppure $b = (2, -5, 2, -3)$.
Quindi a e b sono due vettori dello spazio vettoriale V e f(a) = f(b).
A questo punto, mi chiedo come fare a rappresentarli tutti, visto che la consegna parla di descrivere esplicitamente un insieme di vettori.
Devo dunque trovare una base per questo insieme, in grado di generarlo? Se si in che modo la trovo?
Grazie per l'aiuto.
Ho bisogno peró di capire come funzionano le cose più a fondo, per non svolegere gli esercizi meccanicamente, ma capire ciò che sto facendo.
Ti chiedo quindi di darmi un ultimo aiuto per capire una cosa:
La consegna dice: Descrivere esplicitamente l'insieme $ v={(x_1;x_2;x_3;x_4) in R^4 : f(v)= 2e_1+3e_2} $ .
Io tramite il sistema che deriva dalla moltiplicazione [tex]$A\times(x_1;x_2;x_3;x_4)^T=(2;3;0)^T$[/tex], ottengo più di una soluzione, dipende da cosa scelgo come $x_3$ e $x_4$, dato che $x_1$ e $x_2$ dipendono da loro.
Ad esempio 2 risultati possono essere: $a = (-2, -1, 2, 1)$ oppure $b = (2, -5, 2, -3)$.
Quindi a e b sono due vettori dello spazio vettoriale V e f(a) = f(b).
A questo punto, mi chiedo come fare a rappresentarli tutti, visto che la consegna parla di descrivere esplicitamente un insieme di vettori.
Devo dunque trovare una base per questo insieme, in grado di generarlo? Se si in che modo la trovo?
Grazie per l'aiuto.
[mod="Martino"]Nel frattempo sposto in algebra lineare. Attenzione la prossima volta alla sezione, grazie.[/mod]
Lo rappresenti mediante il sistema matriciale che t'ho scritto; in quanto quest'insieme non è uno spazio vettoriale. È immediato 
Quindi non arrivando a nessuna soluzione "concreta" nel sistema, poiché le soluzioni dipendono da $x_3$ e $x_4$, posso concludere dicendo che l'insieme in questione é rappresentato da:
$ { ( x_1 = 1 - x_4 - x_3 ),( x_2 = x_4 - x_3 ):} $
per qualsiasi valore di $x_3$ $x_4$ ?
$ { ( x_1 = 1 - x_4 - x_3 ),( x_2 = x_4 - x_3 ):} $
per qualsiasi valore di $x_3$ $x_4$ ?
Sì! Almeno hai capito perché tale insieme non è un sottospazio vettoriale? Questo è un dettaglio tecnico non meccanico; come t'interessa 
Infatti, volevo proprio chiederti anche questo...
A me quell'insieme sembra un sottospazio, prorio perché, almeno per i due possibili risultati che ho trovato, rispetta le regole per esserlo, ad esempio:
Sia S il presunto sottospazio,
1) $S != O/$
2) $(-2, -1, 2, 1) + (2, -5, 2, -3) = (0, -6, 4, 2) $ che appartiene a questo insieme.
3) $ 1/2 * (0, -6, 4, 2) = (0, -3, 2, 1) $ e anch'esso appartiene a questo insieme.
Oh, la mia è solo un impressione, non saprei come dimostrarlo per tutti i possibili componenti, ma a primo impatto mi sembrava fosse proprio un sottospazio.
A me quell'insieme sembra un sottospazio, prorio perché, almeno per i due possibili risultati che ho trovato, rispetta le regole per esserlo, ad esempio:
Sia S il presunto sottospazio,
1) $S != O/$
2) $(-2, -1, 2, 1) + (2, -5, 2, -3) = (0, -6, 4, 2) $ che appartiene a questo insieme.
3) $ 1/2 * (0, -6, 4, 2) = (0, -3, 2, 1) $ e anch'esso appartiene a questo insieme.
Oh, la mia è solo un impressione, non saprei come dimostrarlo per tutti i possibili componenti, ma a primo impatto mi sembrava fosse proprio un sottospazio.
Ed il vettore nullo dov'è? 
Ah ecco .
Grazie 1000 per l'aiuto!
.Grazie 1000 per l'aiuto!
Prego, di nulla
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