Descrivere il sottospazio F con una o più equazioni?

[GanaWeb1]

Ragazzi ho bisogno di un'informazione che non riesco a trovare da altre parti,
vorrei capire come si fa a descrivere un dato sottospazio vettoriale F conoscendo una delle sue basi.
Chi mi può dare una mano? Grazie in anticipo.
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Gabriele Michele Napoli

[maurer]

Sia [tex](\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_m)[/tex] una base di [tex]F[/tex]. Poniamo [tex]\mathbf{w}_i = (w_{i1}, \ldots, w_{in})[/tex] in componenti rispetto ad una base fissata [tex]\mathcal{B} = (\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n)[/tex] dello spazio [tex]V[/tex] in cui stiamo lavorando. Considera il sistema

[tex]\begin{cases} w_{11} x_1 + \ldots + w_{1n} x_n = 0 \\ w_{21} x_1 + \ldots + w_{2n} x_n = 0 \\ \vdots \\ w_{m1}x_1 + \ldots + w_{mn} x_n = 0 \end{cases}[/tex]

e osserva che ha più colonne che righe. Quindi ha una soluzione non nulla. Sia [tex]W[/tex] lo spazio delle sue soluzioni, sia [tex](\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_{n-m})[/tex] una sua base e siano [tex]\mathbf{f}_i = (f_{i1}, \ldots, f_{in})[/tex] le componenti di [tex]\mathbf{f}_i[/tex] rispetto alla base [tex]\mathcal{B}[/tex]. Ora (magia!) l'insieme delle soluzioni di

[tex]\begin{cases} f_{11} x_1 + \ldots + f_{1n} x_n = 0 \\ f_{21} x_1 + \ldots + f_{2n} x_n = 0 \\ \vdots \\ f_{n-m,1} x_1 + \ldots + f_{n-m, n}x_n = 0\end{cases}[/tex]

è proprio [tex]F[/tex]...

[GanaWeb1]

Grazie. Problema Risolto..!