Derivate direzionali
E' data la funzione a due variabili reali definita da
$f(x,y)=\frac{x^2*\^3sqrt(x)}{x^2+y^2}+\log(y^2+1)$
Dimostrare che la funzione è prolungabile per continuità nell'origine ponendo $f(0,0)=0$. Far vedere inoltre che la funzione ammette tutte le derivate direzionali in $(0,0)^T$.
Per il primo quesito non ci sono problemi (basta calcolare il limite di $f(x,y)$ per $(x,y)\to0$). Per calcolare le derivate direzionali (una volta fissato un versore $(a,b)^T$) risolvo questo limite:
$\lim_{t\to0}\frac{a^2*t^2*(at)^(1/3)}{t^3}+(\log(b^2*t^2+1))/t$.
Il secondo addendo (quello col logaritmo) tende a 0, mentre il primo tende va all'infinito. Dove sbaglio? Dal testo dell'esercizio mi aspetterei un limite finito.
$f(x,y)=\frac{x^2*\^3sqrt(x)}{x^2+y^2}+\log(y^2+1)$
Dimostrare che la funzione è prolungabile per continuità nell'origine ponendo $f(0,0)=0$. Far vedere inoltre che la funzione ammette tutte le derivate direzionali in $(0,0)^T$.
Per il primo quesito non ci sono problemi (basta calcolare il limite di $f(x,y)$ per $(x,y)\to0$). Per calcolare le derivate direzionali (una volta fissato un versore $(a,b)^T$) risolvo questo limite:
$\lim_{t\to0}\frac{a^2*t^2*(at)^(1/3)}{t^3}+(\log(b^2*t^2+1))/t$.
Il secondo addendo (quello col logaritmo) tende a 0, mentre il primo tende va all'infinito. Dove sbaglio? Dal testo dell'esercizio mi aspetterei un limite finito.
Risposte
Scusa ma da dove tiri fuori questo limite?
La definizione di derivata direzionale in $(x_0,y_0)$, dato un versore $A:= (a,b)$, $||A|| = 1$ è data da:
$D_A f(x_0,y_0) = lim_(t->0) (f(x_0 +ta, y_0 + tb) - f(x_0,y_0))/(t)$
Sicuro che esca fuori quel limite?
In tal caso non saprei che risponderti, provo a guardare meglio il limite...ah ricordati che a e b devono soddisfare $a^2 + b^2 = 1$, perciò sono tutti e due minori o uguali a 1.
Ciao!
La definizione di derivata direzionale in $(x_0,y_0)$, dato un versore $A:= (a,b)$, $||A|| = 1$ è data da:
$D_A f(x_0,y_0) = lim_(t->0) (f(x_0 +ta, y_0 + tb) - f(x_0,y_0))/(t)$
Sicuro che esca fuori quel limite?
In tal caso non saprei che risponderti, provo a guardare meglio il limite...ah ricordati che a e b devono soddisfare $a^2 + b^2 = 1$, perciò sono tutti e due minori o uguali a 1.
Ciao!
Posto i passaggi completi. Fisso un versore $(a,b)^T$ (per definizione di versore, $a^2+b^2=1$). Quindi:
$\lim_{t\to0}\frac{f(0+at,0+bt)-f(0,0)}{t}
A questo punto, sostituendo e ricordando che $f(0,0)=0$, arrivi al limite che ho scritto nel precedente post. Salvo errori di conto, almeno...
$\lim_{t\to0}\frac{f(0+at,0+bt)-f(0,0)}{t}
A questo punto, sostituendo e ricordando che $f(0,0)=0$, arrivi al limite che ho scritto nel precedente post. Salvo errori di conto, almeno...
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