Derivate di ordine superiore su varietà Riemanniana
Ciao a tutti, supponiamo io abbia una varietà Riemanniana $M$ e una funzione liscia $f:M \to \mathbb{R}$. Denoto il gradiente di $f$ con $\nabla f$. Quale è il significato di
$$ \nabla^N f$$
con $N \ge 3$ intero?
Può essere che sia il campo tensoriale $N$-covariante definito da
$$ \nabla ^N f (X_1, \dots, X_N ) = \langle \nabla_{X_1} \nabla_{X_2} \dots \nabla_{X_{n-1}} \nabla f , X_N \rangle $$
? In ogni caso, quale è il significato di
$$ \int_M \nabla^N f \text{dm} $$ dove m è la misura di volume?
Grazie in anticipo a chi potrà aiutarmi!
$$ \nabla^N f$$
con $N \ge 3$ intero?
Può essere che sia il campo tensoriale $N$-covariante definito da
$$ \nabla ^N f (X_1, \dots, X_N ) = \langle \nabla_{X_1} \nabla_{X_2} \dots \nabla_{X_{n-1}} \nabla f , X_N \rangle $$
? In ogni caso, quale è il significato di
$$ \int_M \nabla^N f \text{dm} $$ dove m è la misura di volume?
Grazie in anticipo a chi potrà aiutarmi!
Risposte
Si, è quello. Applica la derivata covariante N volte. E quell'integrale fa zero, perché integri per parti.
Ciao, grazie mille. Ma per l'integrale il mio problema è non so proprio come interpretarlo: io so integrare funzioni sulle varietà, non campi vettoriali!
Inoltre ho trovato sul libro di Kuhnel che la definizione corretta dovrebbe essere
\[ \nabla ^ N f (X_1, \dots, X_N) = \nabla_{X_1} \nabla^{N-1} (X_2, \dots, X_N) - \sum_{i=1}^N \nabla ^{N-1} f (X_2, \dots, \nabla_{X_1} X_i, \dots, X_N) \]
ma questa non combacia con quanto detto perché sebbene io sia sicuro che
\[ \nabla^2 f (X,Y) = \langle \nabla_X \text{grad}{f}, Y \rangle \]
ottengo
\begin{align*}
\nabla^3 f (X,Y,Z ) & \overset{\text{def}}{=} \nabla_X \nabla^2 f(Y,Z) - \nabla^2 f ( \nabla_X Y, Z) - \nabla^2 f ( Y, \nabla_X Z) \\
& = X \biggl ( \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, Z \rangle \biggr ) - \nabla^2 f ( Z, \nabla_X Y), \rangle - \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, \nabla_X Z \rangle \\
& = \langle \nabla_X \nabla_Y \text{grad}{f}, Z \rangle + \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, \nabla_X Z \rangle - \langle \nabla_Z \text{grad}{f}, \nabla_X Y \rangle - \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, \nabla_X Z \rangle \\
& = \langle \nabla_X \nabla_Y \text{grad}{f}, Z \rangle - \langle \nabla_Z \text{grad}{f}, \nabla_X Y \rangle \\
\end{align*}
Cosa sbaglio?
\[ \nabla ^ N f (X_1, \dots, X_N) = \nabla_{X_1} \nabla^{N-1} (X_2, \dots, X_N) - \sum_{i=1}^N \nabla ^{N-1} f (X_2, \dots, \nabla_{X_1} X_i, \dots, X_N) \]
ma questa non combacia con quanto detto perché sebbene io sia sicuro che
\[ \nabla^2 f (X,Y) = \langle \nabla_X \text{grad}{f}, Y \rangle \]
ottengo
\begin{align*}
\nabla^3 f (X,Y,Z ) & \overset{\text{def}}{=} \nabla_X \nabla^2 f(Y,Z) - \nabla^2 f ( \nabla_X Y, Z) - \nabla^2 f ( Y, \nabla_X Z) \\
& = X \biggl ( \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, Z \rangle \biggr ) - \nabla^2 f ( Z, \nabla_X Y), \rangle - \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, \nabla_X Z \rangle \\
& = \langle \nabla_X \nabla_Y \text{grad}{f}, Z \rangle + \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, \nabla_X Z \rangle - \langle \nabla_Z \text{grad}{f}, \nabla_X Y \rangle - \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, \nabla_X Z \rangle \\
& = \langle \nabla_X \nabla_Y \text{grad}{f}, Z \rangle - \langle \nabla_Z \text{grad}{f}, \nabla_X Y \rangle \\
\end{align*}
Cosa sbaglio?
Non lo so, ma stiamo facendo un discorso di interpretazione dei simboli. Non c'è niente da guadagnare da queste elucubrazioni così, a vuoto. Cosa stai leggendo? Io in questi casi, quando mi blocco, scrivo tutto in coordinate e di solito si accende una lampadina.
Ciao, in questa settimana mi sono studiato un po' per bene come si derivano i campi tensoriali, cosa che non sapevo manco si potesse fare. Quindi ho scoperto che la definizione corretta è proprio quella del libro di Kunhel e che si trova anche sul Do Carmo. In generale, non coincide con quello che ho scritto nel primo post. Anche la domanda sull'integrale è (drammaticamente) imprecisa e dettata dalla troppa fretta. Perdonami se ti ho fatto perdere tempo, dissonance, ti ringrazio comunque molto per l'attenzione!
Mica mi hai fatto perdere tempo. Anzi a questo punto risulta pure che chi sbagliava sono io, perché ho detto "si è quello".
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