Derivata matrici trasposte

[MrChopin]

Salve a tutti ho un dubbio sulla derivata di questa funzione:

$ f(x)=(1/2)(Ax-b)^(T)(Ax-b) $

Dove $ A $ è una matrice $ pxx n $ dove $ p>n $

E la sua derivata è questa:

$ f'(x)=(Ax-b)^(T)A $

Ho considerato la funzione come una funzione composta da:

$ g(x)= Ax-b $

$ f(g(x))= (Ax-b)^(T)(Ax-b) $

E quindi derivando ho ottenuto:

$ g'(x)= (1/2)A $

$ f'(g(x))= (Ax-b)^(T) $

Potete passarmi materiale per approfondire la derivata di vettori e matrici trasposte e funzioni vettoriali e matrciali trasposte?

[anonymous_0b37e9]

Intanto, poiché si deve presumere che $x$ sia un vettore colonna del tipo $nxx1$:

$[[x_1],[x_2],[...],[x_n]]$

sarebbe più corretto parlare di derivate parziali.

[MrChopin]

Avete ragione è stato un'errore di distrazione. Ma quindi è giusto ciò che ho scritto?

[anonymous_0b37e9]

"MrChopin":
... è giusto ciò che ho scritto?

Io non ne comprendo la logica sottostante. Ad ogni modo, se posso darti un consiglio, prima dovresti prendere un po' di confidenza con il calcolo esplicito:

$f(x_1,x_2,...,x_n)=$

$=1/2(Ax-b)^t(Ax-b)=$

$=1/2(x^tA^t-b^t](Ax-b)=$

$=1/2x^tA^tAx-1/2x^tA^tb-1/2b^tAx+1/2b^tb=$

$=1/2\sum_{ijk=1}^nx_iA_(ki)A_(kj)x_j-1/2\sum_{ij=1}^nx_iA_(ji)b_j-1/2\sum_{ij=1}^nb_iA_(ij)x_j+1/2\sum_{i=1}^nb_i^2$

$(delf)/(delx_l)=$

$=1/2\sum_{ijk=1}^n\delta_(il)A_(ki)A_(kj)x_j+1/2\sum_{ijk=1}^nx_iA_(ki)A_(kj)\delta_(jl)-1/2\sum_{ij=1}^n\delta_(il)A_(ji)b_j-1/2\sum_{ij=1}^nb_iA_(ij)\delta_(jl)=$

$=1/2\sum_{jk=1}^nA_(kl)A_(kj)x_j+1/2\sum_{ik=1}^nx_iA_(ki)A_(kl)-1/2\sum_{j=1}^nA_(jl)b_j-1/2\sum_{i=1}^nb_iA_(il)=$

$=1/2x^tA^tA+1/2x^tA^tA-1/2b^tA-1/2b^tA=$

$=x^tA^tA-b^tA=$

$=(x^tA^t-b^t)A=$

$=(Ax-b)^tA$

Vero è che:

$f(x)=1/2(Ax-b)^t(Ax-b)$

$(df)/(dx)=1/2A^t(Ax-b)+1/2(Ax-b)^tA=1/2(Ax-b)^tA+1/2(Ax-b)^tA=(Ax-b)^tA$

Tuttavia, poiché di natura simbolica, difficile giustificarlo, anche solo a parole, senza sapere che cosa avviene dietro le quinte.

[dissonance]

[quote]un' errore di distrazione[\quote]
Un errore di distrazione può essere quell'apostrofo, non ci sono problemi, solo una svista. Ma l'obiezione che @anonymous_0b37e9 ti muove è di natura fondamentale, non è "un errore di distrazione", è una obiezione che invalida completamente tutto il senso di ciò che scrivi.

Io mi associo al consiglio di fare i conti esplicitamente con coordinate e sommatorie. Sembra più complicato ma in realtà è più semplice, e "ti libera dalla necessità di ricordare tanta teoria" (come diceva J.L. Vázquez, un professore spagnolo, io ho assistito ad alcuni dei suoi corsi e sono stati piuttosto importanti per me).