Derivata esterna

[Sacaio]

Sia $\omega$ la $(n-1)$ forma differenziale su $\mathbb{R}^{n}$ definita da
\[
\omega = \sum_{i=1}^{n} {(-1)^i x_i} dx_1 \wedge ... \wedge \bar{dx_i} \wedge ... \wedge dx_n
\]
dove $\bar{dx_i}$ significa che $dx_i$ è assente.

Clacolare la derivata esterna $d\omega$ e $*\omega$.

Non riesco a calcolarli: come si fa?

I risultati sono:
\[
d\omega=-n(dx_1 \wedge ... \wedge dx_n)
\]
e
\[
*\omega = (-1)^{n} \sum_{i=1}^{n} {x_i dx_i}
\]

[vict85]

Basta applicare la definizione di derivata esterna. Insomma \(d\omega = \sum_{i=1}^n (-1)^i dx_i\wedge dx_1\wedge \dotsb\wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \dotsb \wedge dx_n\) e dopo di che usare le proprietà del wedge product per riordinare i fattori.

[Sacaio]

"vict85":Basta applicare la definizione di derivata esterna. Insomma \(d\omega = \sum_{i=1}^n (-1)^i dx_i\wedge dx_1\wedge \dotsb\wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \dotsb \wedge dx_n\) e dopo di che usare le proprietà del wedge product per riordinare i fattori.

Sì, la questione dei fattori ok, ma non mi pare venga $-n$ davanti... potresti esplicitarmi i passaggi?

[vict85]

Semplicemente \(dx_i\wedge dx_1\wedge \dotsb\wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \dotsb \wedge dx_n = (-1)^{i-1}dx_1\wedge\dotsb\wedge dx_n\).

[j18eos]

Anche io non mi trovo col risultato proposto!

[vict85]

"j18eos":Anche io non mi trovo col risultato proposto!

A me sembra di aver fatto il passaggio corretto, e dopo quello mi viene esattamente quello che ha proposto il libro.

Per esempio:

\(\displaystyle \begin{align} \omega &= -x\, dy\wedge dz + y\,dx\wedge dz -z\,dx\wedge dy \\ \\ d\omega &= -dx\wedge dy\wedge dz + dy\wedge dx\wedge dz -dz\wedge dx\wedge dy \\
&= -dx\wedge dy\wedge dz - dx \wedge dy\wedge dz +dx\wedge dz\wedge dy \\
&= -dx\wedge dy\wedge dz - dx \wedge dy\wedge dz -dx\wedge dy\wedge dz \\
&= -3\,dx\wedge dy\wedge dz \end{align} \)

Sulla Hodge Star non ho fatto i calcoli.

[Sacaio]

"vict85":Semplicemente \(dx_i\wedge dx_1\wedge \dotsb\wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \dotsb \wedge dx_n = (-1)^{i-1}dx_1\wedge\dotsb\wedge dx_n\).

Mitico, grazie! Dimenticavo la proprietà $dx \wedge dy = - dy \wedge dx$.

(Spero torni anche a j18eos, esplicitata questa proprietà!)

[Sacaio]

\[
*\omega = (-1)^{n} \sum_{i=1}^{n} {x_i dx_i}
\]
Sai anche sbrigare questo conto?

[j18eos]

Ah sì, ho trovato il mio errore.

...l'operatore di Hodge lo cercherò domani, tra i miei appunti.
[ot]Ma sì: dopo una giornata di geometria algebrica, concludo con la geometria differenziale. [/ot]

[j18eos]

Per la seconda parte, basta la definizione di operatore di Hodge.

Si fa a occhio!