Derivata direzionale
Ciao a tutti
avrei bisogno di sapere se ho fatto questo esercizio correttamente
L'esercizio mi chiede di calcolare la derivata direzionale della funzione
$c(x,y)= 4 ln (\sqrt( x^{2} + (y^{2}-1)^{2})) $
nel punto $P(-1,2)$ lungo il vettore [tex]v = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/tex]
per calcolarla ho applicato la definizione di derivata direzionale ovvero (e qui correggetemi se mi sbaglio)
[tex]\displaystyle \frac{\partial c}{\partial \vec{v}} = \lim_{h \to 0} \frac{ c(\frac{3}{5}h, \frac{4}{5}h) - c(-1,2) }{h}[/tex]
secondo i miei calcoli viene
[tex]\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{ 4 ln \sqrt{ (\frac{3}{5}h)^{2} + (( \frac{4}{5}h )^{2} - 1)^{2} } - 2 ln10 }{h} =
2 \lim_{h \to 0} \frac{ 2 ln \sqrt{ ln( \frac{256}{625} h^{4} - \frac{503}{600} h^{2} +1 )} - ln10 }{h}[/tex]
[tex]= 2 \lim_{h \to 0} \frac{ 2 ( ln( \frac{256}{625} h^{4} - \frac{503}{600} h^{2} +1 ))^{\frac{1}{2}}- ln10 }{h} = 2 \lim_{h \to 0} \frac{ ( ln( \frac{256}{625} h^{4} - \frac{503}{600} h^{2} +1 ))- ln10 }{h}[/tex]
[tex]\displaystyle = 2 \lim_{h \to 0} \frac{ ln( \frac{256}{625} h^{4} - \frac{503}{600} h^{2} +1 )- ln10 }{h} = 2 \lim_{h \to 0} \frac{ ln( \frac{256}{6250} h^{4} - \frac{503}{6000} h^{2} +\frac{1}{10} ) }{h} = 2 \frac{ln(\frac {1}{10})}{0} =\infty[/tex]
pertanto la derivata direzionale non esiste in questo punto. Ho sbagliato qualcosa?
grazie mille a tutti
avrei bisogno di sapere se ho fatto questo esercizio correttamente
L'esercizio mi chiede di calcolare la derivata direzionale della funzione
$c(x,y)= 4 ln (\sqrt( x^{2} + (y^{2}-1)^{2})) $
nel punto $P(-1,2)$ lungo il vettore [tex]v = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/tex]
per calcolarla ho applicato la definizione di derivata direzionale ovvero (e qui correggetemi se mi sbaglio)
[tex]\displaystyle \frac{\partial c}{\partial \vec{v}} = \lim_{h \to 0} \frac{ c(\frac{3}{5}h, \frac{4}{5}h) - c(-1,2) }{h}[/tex]
secondo i miei calcoli viene
[tex]\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{ 4 ln \sqrt{ (\frac{3}{5}h)^{2} + (( \frac{4}{5}h )^{2} - 1)^{2} } - 2 ln10 }{h} =
2 \lim_{h \to 0} \frac{ 2 ln \sqrt{ ln( \frac{256}{625} h^{4} - \frac{503}{600} h^{2} +1 )} - ln10 }{h}[/tex]
[tex]= 2 \lim_{h \to 0} \frac{ 2 ( ln( \frac{256}{625} h^{4} - \frac{503}{600} h^{2} +1 ))^{\frac{1}{2}}- ln10 }{h} = 2 \lim_{h \to 0} \frac{ ( ln( \frac{256}{625} h^{4} - \frac{503}{600} h^{2} +1 ))- ln10 }{h}[/tex]
[tex]\displaystyle = 2 \lim_{h \to 0} \frac{ ln( \frac{256}{625} h^{4} - \frac{503}{600} h^{2} +1 )- ln10 }{h} = 2 \lim_{h \to 0} \frac{ ln( \frac{256}{6250} h^{4} - \frac{503}{6000} h^{2} +\frac{1}{10} ) }{h} = 2 \frac{ln(\frac {1}{10})}{0} =\infty[/tex]
pertanto la derivata direzionale non esiste in questo punto. Ho sbagliato qualcosa?
grazie mille a tutti
Risposte
Direi che c'è qualcosa che non va.
Ti suggerisco di usare un metodo differente. Sia $g(h)$ la funzione definita come $g(h) = c(x_0 + u_1h,y_0 + u_2h)$ dove $bb u = ( ( u_1 ),( u_2 ) )$ è il vettore direzione in questione.
Calcolare la derivata direzionale di $c(x,y)$ in $P = (x_0, y_0)$ nelle direzione $bb u$ equivale a calcolare la derivata in $0$ della funzione reale $g(h)$.
In altre parole $ (del c)/(del bb u) = (dg)/(dh)$.
L'equivalenza delle due formule è abbastanza evidente ma ti consiglio comunque di provare a dimostrarla.
Nel caso specifico:
$g(h) = c(x_0 + u_1h,y_0 + u_2h) = c(-1 + 3/5 h, 2 + 4/5 h) = 4 ln ( sqrt( (-1 + 3/5 h)^{2} + ((2 + 4/5 h)^{2}-1)^{2})) =$
$= 4 ln (sqrt(1/625 (256 h^4+2560 h^3+9025 h^2+11250 h+6250))) = 2ln (1/625 (256 h^4+2560 h^3+9025 h^2+11250 h+6250)) =$
$= 2ln(256 h^4+2560 h^3+9025 h^2+11250 h+6250) -8ln5$
$g'(h) = 2(1024 h^3 + 7680 h^2 + 18050 h + 11250)/(256 x^4+2560 x^3+9025 x^2+11250 x+6250)$ che calcolato in $h=0$ vale $11250/3125 = 18/5$
Il problema del tuo metodo è che è in generale molto più complicato. In ogni caso tu ha messo:
$lim_{h to 0} (c(3/5h, 4/5h) - c(-1,2))/h$
mentre avresti dovuto mettere:
$lim_{h to 0} (c(-1 +3/5h, 2+ 4/5h) - c(-1,2))/h$
E quindi hai necessariamente sbagliato le cose. Sono probabili altri errori.
P.S: Ovviamente si eliminare la radice quadrata anche nella funzione iniziale (dopo aver determinato il dominio della funzione).
Ti suggerisco di usare un metodo differente. Sia $g(h)$ la funzione definita come $g(h) = c(x_0 + u_1h,y_0 + u_2h)$ dove $bb u = ( ( u_1 ),( u_2 ) )$ è il vettore direzione in questione.
Calcolare la derivata direzionale di $c(x,y)$ in $P = (x_0, y_0)$ nelle direzione $bb u$ equivale a calcolare la derivata in $0$ della funzione reale $g(h)$.
In altre parole $ (del c)/(del bb u) = (dg)/(dh)$.
L'equivalenza delle due formule è abbastanza evidente ma ti consiglio comunque di provare a dimostrarla.
Nel caso specifico:
$g(h) = c(x_0 + u_1h,y_0 + u_2h) = c(-1 + 3/5 h, 2 + 4/5 h) = 4 ln ( sqrt( (-1 + 3/5 h)^{2} + ((2 + 4/5 h)^{2}-1)^{2})) =$
$= 4 ln (sqrt(1/625 (256 h^4+2560 h^3+9025 h^2+11250 h+6250))) = 2ln (1/625 (256 h^4+2560 h^3+9025 h^2+11250 h+6250)) =$
$= 2ln(256 h^4+2560 h^3+9025 h^2+11250 h+6250) -8ln5$
$g'(h) = 2(1024 h^3 + 7680 h^2 + 18050 h + 11250)/(256 x^4+2560 x^3+9025 x^2+11250 x+6250)$ che calcolato in $h=0$ vale $11250/3125 = 18/5$
Il problema del tuo metodo è che è in generale molto più complicato. In ogni caso tu ha messo:
$lim_{h to 0} (c(3/5h, 4/5h) - c(-1,2))/h$
mentre avresti dovuto mettere:
$lim_{h to 0} (c(-1 +3/5h, 2+ 4/5h) - c(-1,2))/h$
E quindi hai necessariamente sbagliato le cose. Sono probabili altri errori.
P.S: Ovviamente si eliminare la radice quadrata anche nella funzione iniziale (dopo aver determinato il dominio della funzione).
Ciao
grazie mille per la risposta, adesso é piú chiaro
ho peró trovato qualcosa qui
http://www.dti.unimi.it/cariboni/MC/06_ ... iabili.pdf
dove parla di come calcolare una derivata direzionale e, applicando questo metodo il risultato mi viene diverso dal tuo.
a me viene $26/25$ dove sbaglio?
grazie mille per la risposta, adesso é piú chiaro
ho peró trovato qualcosa qui
http://www.dti.unimi.it/cariboni/MC/06_ ... iabili.pdf
dove parla di come calcolare una derivata direzionale e, applicando questo metodo il risultato mi viene diverso dal tuo.
a me viene $26/25$ dove sbaglio?
Ero indeciso su quale dei due metodi presentarti ma ho trovato che il primo fosse più immediato da capire mentre per l'altro avrei dovuto spiegarti che la derivazione è un operatore lineare e cose così.
In ogni caso ho fatto i calcoli con il metodo che hai postato tu e a me viene nuovamente $18/5$ probabilmente hai sbagliato qualcosa nei conti.
A me vengono $c_x = 4x(x^2+y^4+1-2y^2)^{-1}$ e $c_y = 8y(y^2-1)(x^2+y^4+1-2y^2)^{-1}$ (con $c_x$ intendo la derivata parziale rispetto alla $x$)
In ogni caso ho fatto i calcoli con il metodo che hai postato tu e a me viene nuovamente $18/5$ probabilmente hai sbagliato qualcosa nei conti.
A me vengono $c_x = 4x(x^2+y^4+1-2y^2)^{-1}$ e $c_y = 8y(y^2-1)(x^2+y^4+1-2y^2)^{-1}$ (con $c_x$ intendo la derivata parziale rispetto alla $x$)
Ciao
ho rifatto i conti con il metodo che ti ho dato io e a me viene sempre $\frac{26}{25}$
vediamo...
come tu stesso dici le derivate parziali della funzione $c(x,y)$ vengono
[tex]\displaystyle \frac{ \partial c}{ \partial x} = \frac{4x}{x^{2} +( y^{2}-1 )^{2}} \Rightarrow \left(\frac{ \partial c}{ \partial x} \right)_ {(-1,2)} = \frac{4(-1)}{(-1)^{2} +( 2^{2}-1 )^{2}} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}[/tex]
e
[tex]\displaystyle \frac{ \partial c}{ \partial y} = \frac{8x(y-1)}{x^{2} +( y^{2}-1 )^{2}} \Rightarrow \frac{8(2)(2-1)}{(-1)^{2} +( (2)^{2}-1 )^{2}} =\frac{16}{10} =\frac{8}{5}[/tex]
ora... il vettore $\vec(v)$ è già un versore quindi posso usarlo così com'è
applicando la regola ho
[tex]\displaystyle \frac{d c}{d\vec{v}} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}+\frac{8}{5} \cdot \frac{4}{5} =-\frac{6}{25}+\frac{32}{25}=\frac{26}{25}[/tex]
Se lo faccio secondo il tuo metodo mi viene effettivamente $\frac{18}{5}$
dove sbaglio?
ho rifatto i conti con il metodo che ti ho dato io e a me viene sempre $\frac{26}{25}$
vediamo...
come tu stesso dici le derivate parziali della funzione $c(x,y)$ vengono
[tex]\displaystyle \frac{ \partial c}{ \partial x} = \frac{4x}{x^{2} +( y^{2}-1 )^{2}} \Rightarrow \left(\frac{ \partial c}{ \partial x} \right)_ {(-1,2)} = \frac{4(-1)}{(-1)^{2} +( 2^{2}-1 )^{2}} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}[/tex]
e
[tex]\displaystyle \frac{ \partial c}{ \partial y} = \frac{8x(y-1)}{x^{2} +( y^{2}-1 )^{2}} \Rightarrow \frac{8(2)(2-1)}{(-1)^{2} +( (2)^{2}-1 )^{2}} =\frac{16}{10} =\frac{8}{5}[/tex]
ora... il vettore $\vec(v)$ è già un versore quindi posso usarlo così com'è
applicando la regola ho
[tex]\displaystyle \frac{d c}{d\vec{v}} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}+\frac{8}{5} \cdot \frac{4}{5} =-\frac{6}{25}+\frac{32}{25}=\frac{26}{25}[/tex]
Se lo faccio secondo il tuo metodo mi viene effettivamente $\frac{18}{5}$
dove sbaglio?
Ricontrolla la derivata parziale in y. C'é un x sopra che non dovrebbe starci e un $y-1$ che dovrebbe essere $y^2-1$
la x al numeratore è un mio errore di battitura, al posto di x c'è y, mentre il quadrato è proprio un mio sbaglio nel calcolare la derivata
assieeeeeeeeeeeeee
assieeeeeeeeeeeeee
Prego
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo