Derivata di un vettore rispetto ad un altro (geometria II)
Buongiorno a tutti i frequentatori del forum.
Ho un dubbio - o meglio una lacuna - su un concetto che sui $2/3$ dei corsi che ho seguito non esiste e sul restante $1/3$ lo si da per scontato.
Dopo averlo visto come osservazione o come "se vi interessa..." in quel $1/3$ di corsi, adesso ci sono andato a sbattere di testa in geometria II.
Il essa si ha che $N$ è il versore normale alla curva mentre $w \in T_p S$ dove quest'ultimo è il piano tangente alla curva stessa. Da qui si va avanti con prima e seconda forma fondamentale, derivata covariante... ecc... ecc...
Allora, il mio dubbio è questo: come si fa la derivata di un vettore rispetto ad un altro?
Ho ragionato così.
1. Se $w=\alpha v_1 + \beta v_2$ dove $v_1$ e $v_2$ sono i versori che individuano il piano tangente, allora si ha $L_p (w) = \frac{\del N}{\del w}= \alpha \frac{\del N}{\del v_1} + \beta \frac{\del N}{\del v_2}$. Non so se è una proprietà immediata, fatto sta che viene anche dimostrata subito dopo questa definizione.
2. Il problema quindi è il seguente: calcolare la derivata di un vettore rispetto ad un versore.
Domanda. Posso applicare la regola (vista in analisi II) della derivata di una funzione vettoriale lungo una direzione (in questo caso il vettore) e cioè la derivata direzionale?
Se sì, la risposta è $\frac{\del N}{\del v_1} = <\nabla N, v>$.
Se la risposta è "sì" mi sono fatto tanti problemi per nulla...
[In generale, considero $N=N(t)$ che varia a seconda del punto in cui mi trovo nella curva.]
____
Un altro piccolo dubbio. In seguito si dice "l'operatore forma è simmetrico ed è una matrice 2x2 (nel piano)" ora, dall'alto della mia ignoranza, suppongo che la matrice incriminata sia questa:
$L_p (w) =( (\alpha \frac{\del N}{\del v_1} , 0),(0, \beta \frac{\del N}{\del v_2}))$
rifacendomi alla notazione di prima.
Is that right?
___ Buona giornata a tutti ed un "grazie" a chi mi risponderà!
Ho un dubbio - o meglio una lacuna - su un concetto che sui $2/3$ dei corsi che ho seguito non esiste e sul restante $1/3$ lo si da per scontato.
Dopo averlo visto come osservazione o come "se vi interessa..." in quel $1/3$ di corsi, adesso ci sono andato a sbattere di testa in geometria II.
Definizione (all'incirca, non proprio rigorosa al 100%).
Si definisce $L_p$ operatore di forma, l'applicazione $L_p : T_p S \to T_p S$ t.c. $L_p (w) = \frac{\del N}{\del w}$.
Il essa si ha che $N$ è il versore normale alla curva mentre $w \in T_p S$ dove quest'ultimo è il piano tangente alla curva stessa. Da qui si va avanti con prima e seconda forma fondamentale, derivata covariante... ecc... ecc...
Allora, il mio dubbio è questo: come si fa la derivata di un vettore rispetto ad un altro?
Ho ragionato così.
1. Se $w=\alpha v_1 + \beta v_2$ dove $v_1$ e $v_2$ sono i versori che individuano il piano tangente, allora si ha $L_p (w) = \frac{\del N}{\del w}= \alpha \frac{\del N}{\del v_1} + \beta \frac{\del N}{\del v_2}$. Non so se è una proprietà immediata, fatto sta che viene anche dimostrata subito dopo questa definizione.
2. Il problema quindi è il seguente: calcolare la derivata di un vettore rispetto ad un versore.
Domanda. Posso applicare la regola (vista in analisi II) della derivata di una funzione vettoriale lungo una direzione (in questo caso il vettore) e cioè la derivata direzionale?
Se sì, la risposta è $\frac{\del N}{\del v_1} = <\nabla N, v>$.
Se la risposta è "sì" mi sono fatto tanti problemi per nulla...
[In generale, considero $N=N(t)$ che varia a seconda del punto in cui mi trovo nella curva.]
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Un altro piccolo dubbio. In seguito si dice "l'operatore forma è simmetrico ed è una matrice 2x2 (nel piano)" ora, dall'alto della mia ignoranza, suppongo che la matrice incriminata sia questa:
$L_p (w) =( (\alpha \frac{\del N}{\del v_1} , 0),(0, \beta \frac{\del N}{\del v_2}))$
rifacendomi alla notazione di prima.
Is that right?
___ Buona giornata a tutti ed un "grazie" a chi mi risponderà!
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