Derivata covariante
salve.... non so se l'argomento è di analisi ma direi di si.... stavo provando a chiarirmi un pochetto le idee (al momento confuse) sulla derivata covariante http://mathworld.wolfram.com/CovariantDerivative.html ... mi chiedevo:
- innanzitutto questa formula mi sembra che non usi il concetto di spazio tangente in un punto come 'insieme delle applicazioni lineari che associano ad ogni funzione regolare definita nell'intorno del punto un numero complesso', ma che va subito "in coordinate" dove è possibile indentificare gli spazi tangenti in punti vicini come uno solo spazio tangente... mi chiedevo se tutto questo era necessario e se è possibile fare derivate di funzioni a valori nello spazio tangente con il concetto "generalizzato" di spazio tangente in un punto senza passare in coordinate.... la difficolt\'a che vedo è che a priori con questa definizione gli spazi tangenti sono tutti "diversi" e non identificabili come avviene invece in un semplice R^n;
- in secondo luogo, credo di aver capito che questa derivata si definisce così in modo da avere che questa sia covariante sotto trasformazioni di coordinate... ecco a me sembra che questa 'covarianza' sia un concetto indipendente dalla metrica, quindi mi stupisce vedere i simboli di christoffel... perchè vengono messi?
- innanzitutto questa formula mi sembra che non usi il concetto di spazio tangente in un punto come 'insieme delle applicazioni lineari che associano ad ogni funzione regolare definita nell'intorno del punto un numero complesso', ma che va subito "in coordinate" dove è possibile indentificare gli spazi tangenti in punti vicini come uno solo spazio tangente... mi chiedevo se tutto questo era necessario e se è possibile fare derivate di funzioni a valori nello spazio tangente con il concetto "generalizzato" di spazio tangente in un punto senza passare in coordinate.... la difficolt\'a che vedo è che a priori con questa definizione gli spazi tangenti sono tutti "diversi" e non identificabili come avviene invece in un semplice R^n;
- in secondo luogo, credo di aver capito che questa derivata si definisce così in modo da avere che questa sia covariante sotto trasformazioni di coordinate... ecco a me sembra che questa 'covarianza' sia un concetto indipendente dalla metrica, quindi mi stupisce vedere i simboli di christoffel... perchè vengono messi?
Risposte
Allora, l'argomento non è di analisi ma di geometria differenziale! Comunque...
Per prima cosa non mi è ben chiara la prima domanda: che vuoi dire? Fai attenzione perché c'è una differenza molto forte tra definizione di spazio tangente come la intendi (e quindi di vettore tangente) e di derivata covariante. Quest'ultima non è un vettore tangente, ma rappresenta la derivazione nella direzione di un vettore tangente. Inoltre, cosa intendi per spazi tangenti diversi? In geometria differenziale esiste un oggetto noto come fibrato tangente, il quale, punto per punto, rappresenta lo spazio tangente ad una varietà ed ha la notevole proprietà di rimanere invariante: infatti, se lo indichi con $T(M)$, dove $M$ è la varietà, ottieni che per ogni punto $x\in M$ l'insieme $T_x(M)$ risulta lo spazio tangente ad $M$ in $x$ ed ognuno di questi spazi ha sempre la stessa dimensione, pari a quella della varietà che stai considerando.
La difficoltà che hai nel vedere questa definizione in coordinate locali, potresti superarla guardando la definizione per mezzo di connessioni lineari... ma mi chiedo cosa tu sappia di tutta questa roba. Ti faccio comunque una osservazione: la derivata covariante, a differenza dei vettori tangenti, è la vera generalizzazione di concetto di derivata: ad esempio in $R^n$ la derivata covariante lungo il campo $X$ equivale alla definizione di derivata direzionale nella direzione del vettore associato al campo $X$ nel punto in cui calcoli tale derivata. Se osservi i due membri nella formula che hai citato, puoi accorgerti di quanto segue:
1) il primo addendo $\partial / {\partial x^i}$ rappresenta la derivazione vera è propria, fatto lungo la direzione del campo $X=\xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}$ espresso nelle coordinate locali sulla carta $(U,x^i)$;
2) Il secondo addendo rappresenta invece la "distorsione" della tua derivata rispetto al piano tangente: se hai studiato un po' queste cose, saprai che i campi $\partial/{\partial x^i}$ sono riferimenti locali per lo spazio tangente $T_x(U)$, e quindi la derivata precedente rappresenta solo la parte che giace lungo lo spazio tangente. Ma se la tua varietà è "curvata" (non è piatta come $R^n$) allora necessariamente il suo andamento non giacerà nel "piano" dello spazio tangente, bensì sulla varietà stessa. Il secondo addendo misura esattamente questa sorta di "proiezione" dallo spazio tangente ad una varietà alla varietà stessa di tale derivata!
Per la seconda domanda, devo darti una notizia terribile: i simboli di Christoffel di prima specie, non si definiscono a partire dalle metriche, ma dalle connessioni lineri. Infatti, se $\nabla$ è una connessione linerare (se vuoi poi ti scrivo la definizione) allora in una carta locale $(U,x^i)$ hai
$\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial x^j}=\Gamma_{ij}^k\frac{\partial}{\partial x^k}.$
Nel caso in cui la connessione lineare sia quella di Levi-Civita (cioè quell'unica connessione che parallelizza la metrica $g$, cioè $\nabla g=0$, e che ha torsione nulla), puoi definire i suoi coefficienti a partire dalla formula di Christoffel per i simboli di "seconda specie"
$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2} g^{km}(\frac{\partial g_{im}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jm}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^m}).$
In ogni caso, quali che siano i simboli di Christoffel usati, risulta che la definizione precedente è covariante per cambiamenti di coordinate. Prova a fare il calcolo e te ne accorgerai. Se hai ancora bisogno, fammi sapere.
Per prima cosa non mi è ben chiara la prima domanda: che vuoi dire? Fai attenzione perché c'è una differenza molto forte tra definizione di spazio tangente come la intendi (e quindi di vettore tangente) e di derivata covariante. Quest'ultima non è un vettore tangente, ma rappresenta la derivazione nella direzione di un vettore tangente. Inoltre, cosa intendi per spazi tangenti diversi? In geometria differenziale esiste un oggetto noto come fibrato tangente, il quale, punto per punto, rappresenta lo spazio tangente ad una varietà ed ha la notevole proprietà di rimanere invariante: infatti, se lo indichi con $T(M)$, dove $M$ è la varietà, ottieni che per ogni punto $x\in M$ l'insieme $T_x(M)$ risulta lo spazio tangente ad $M$ in $x$ ed ognuno di questi spazi ha sempre la stessa dimensione, pari a quella della varietà che stai considerando.
La difficoltà che hai nel vedere questa definizione in coordinate locali, potresti superarla guardando la definizione per mezzo di connessioni lineari... ma mi chiedo cosa tu sappia di tutta questa roba. Ti faccio comunque una osservazione: la derivata covariante, a differenza dei vettori tangenti, è la vera generalizzazione di concetto di derivata: ad esempio in $R^n$ la derivata covariante lungo il campo $X$ equivale alla definizione di derivata direzionale nella direzione del vettore associato al campo $X$ nel punto in cui calcoli tale derivata. Se osservi i due membri nella formula che hai citato, puoi accorgerti di quanto segue:
1) il primo addendo $\partial / {\partial x^i}$ rappresenta la derivazione vera è propria, fatto lungo la direzione del campo $X=\xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}$ espresso nelle coordinate locali sulla carta $(U,x^i)$;
2) Il secondo addendo rappresenta invece la "distorsione" della tua derivata rispetto al piano tangente: se hai studiato un po' queste cose, saprai che i campi $\partial/{\partial x^i}$ sono riferimenti locali per lo spazio tangente $T_x(U)$, e quindi la derivata precedente rappresenta solo la parte che giace lungo lo spazio tangente. Ma se la tua varietà è "curvata" (non è piatta come $R^n$) allora necessariamente il suo andamento non giacerà nel "piano" dello spazio tangente, bensì sulla varietà stessa. Il secondo addendo misura esattamente questa sorta di "proiezione" dallo spazio tangente ad una varietà alla varietà stessa di tale derivata!
Per la seconda domanda, devo darti una notizia terribile: i simboli di Christoffel di prima specie, non si definiscono a partire dalle metriche, ma dalle connessioni lineri. Infatti, se $\nabla$ è una connessione linerare (se vuoi poi ti scrivo la definizione) allora in una carta locale $(U,x^i)$ hai
$\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial x^j}=\Gamma_{ij}^k\frac{\partial}{\partial x^k}.$
Nel caso in cui la connessione lineare sia quella di Levi-Civita (cioè quell'unica connessione che parallelizza la metrica $g$, cioè $\nabla g=0$, e che ha torsione nulla), puoi definire i suoi coefficienti a partire dalla formula di Christoffel per i simboli di "seconda specie"
$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2} g^{km}(\frac{\partial g_{im}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jm}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^m}).$
In ogni caso, quali che siano i simboli di Christoffel usati, risulta che la definizione precedente è covariante per cambiamenti di coordinate. Prova a fare il calcolo e te ne accorgerai. Se hai ancora bisogno, fammi sapere.
[mod="Gugo82"]Accolgo l'osservazione di ciampax e sposto in Geometria.
(Se poi i colleghi di Geometria non sono d'accordo, me lo possono pure ributtare qua!
)[/mod]
(Se poi i colleghi di Geometria non sono d'accordo, me lo possono pure ributtare qua!
)[/mod]
Di geometria differenziale so pochino, giusto qualcosa su superfici in R^3 e le prime definizioni astratte di varietà, spazio tangente e cose simili.... visto che studio fisica e sto cominciando a prepare un esame di relatività generale volevo farmi una idea un pò più chiara dal punto di vista matematico su quello che sta avvenendo (a lezione ovviamente questa parte viene trascurata da noi, almeno in questo primo corso)... (almeno un tentativo!)... ti sono grato della risposta, spero che avrai la pazienza di leggere i miei ulteriori dubbi---
ho provato a vedere un pò su wikipedia la definizione di connessioni lineari... la "formal definition" non mi è chiara (nel link clicca il link a "vector bundle" se ti compare la pagine per le ambiguità)... in che modo quel prodotto tensore si vede come fibrato su cui definire le sezioni? non ho trovato purtroppo su internet spiegazione..., sapresti dirmi due parole? (anche se forse questo punto in realtà non è importantissimo)
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(vector_bundle)
dopo poche righe descrive la derivata covariante come una funzione che fissati due campi di vettori tangenti, deriva il primo rispetto al secondo dando un altro campo di vettori tangenti che rispetta delle particolari regole e questo è simile a quanto mi dici tu (credo)... e credo che mi potrei anche accottentare di questa definizione...
a questo punto la covarianza si leggerebbe (dimmi se sbaglio) come: data una variet\'a $M$ con due campo vettoriali $T$ e $T'$, chiamata $F$ la derivata di $T$ rispetto a $T'$, e presa una funzione (differenziabile) da questa variet\'a ad un'altra variet\'a $N$ che mandi $T$ in $A$ e $T'$ in $A'$, con derivata covariante $F'$, questa applicazione mander\'a anche $F$ in $F'$...
questo discorso vorrei capirlo un pò meglio... in sostanza mi stai dicendo che questo \'e il modo in cui la derivata covariante precedentemente definita si definisce per "coordinate", giusto?
La prima parte , visto che esegue le derivate su una carta locale non pu\'o considerare la struttura locale della superficie, visto che la mappa l'ha "appiattita" in un certo senso, giusto?
quindi ci si aspetta un termine ulteriore che consideri la struttura locale, ma questo fatto di proiezione della derivata dallo spazio tangente alla variet\'a non mi è chiaro... hai in mente una qualche figura geometrica di variet\'a immerse in un qualche R^n? no perch\'e non riesco ad immaginarmi questa "proiezione"....
interessante! ... a questo punto però credo di aver perso l'ultima ora e mezzo a cercar di capire cose che in realtà non ho capito... la connessione lineare non era un concetto indipendente da metriche e fissata solo dalla varietà col suo fibrato tangente? forse vuoi dire che la metrica $g$ è l'unica parallelizzata dalla connessione?... oppure ho guardato la definizione sbagliata di connessione.... questo punto mi sta molto a cuore...
si in realtà ho ancora bisogno...
...
"ciampax":
Allora, l'argomento non è di analisi ma di geometria differenziale! Comunque...
Per prima cosa non mi è ben chiara la prima domanda: che vuoi dire? Fai attenzione perché c'è una differenza molto forte tra definizione di spazio tangente come la intendi (e quindi di vettore tangente) e di derivata covariante. Quest'ultima non è un vettore tangente, ma rappresenta la derivazione nella direzione di un vettore tangente. Inoltre, cosa intendi per spazi tangenti diversi? In geometria differenziale esiste un oggetto noto come fibrato tangente, il quale, punto per punto, rappresenta lo spazio tangente ad una varietà ed ha la notevole proprietà di rimanere invariante: infatti, se lo indichi con $T(M)$, dove $M$ è la varietà, ottieni che per ogni punto $x\in M$ l'insieme $T_x(M)$ risulta lo spazio tangente ad $M$ in $x$ ed ognuno di questi spazi ha sempre la stessa dimensione, pari a quella della varietà che stai considerando.
La difficoltà che hai nel vedere questa definizione in coordinate locali, potresti superarla guardando la definizione per mezzo di connessioni lineari... ma mi chiedo cosa tu sappia di tutta questa roba. Ti faccio comunque una osservazione: la derivata covariante, a differenza dei vettori tangenti, è la vera generalizzazione di concetto di derivata: ad esempio in $R^n$ la derivata covariante lungo il campo $X$ equivale alla definizione di derivata direzionale nella direzione del vettore associato al campo $X$ nel punto in cui calcoli tale derivata. Se osservi i due membri nella formula che hai citato, puoi accorgerti di quanto segue:
ho provato a vedere un pò su wikipedia la definizione di connessioni lineari... la "formal definition" non mi è chiara (nel link clicca il link a "vector bundle" se ti compare la pagine per le ambiguità)... in che modo quel prodotto tensore si vede come fibrato su cui definire le sezioni? non ho trovato purtroppo su internet spiegazione..., sapresti dirmi due parole? (anche se forse questo punto in realtà non è importantissimo)
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(vector_bundle)
dopo poche righe descrive la derivata covariante come una funzione che fissati due campi di vettori tangenti, deriva il primo rispetto al secondo dando un altro campo di vettori tangenti che rispetta delle particolari regole e questo è simile a quanto mi dici tu (credo)... e credo che mi potrei anche accottentare di questa definizione...
a questo punto la covarianza si leggerebbe (dimmi se sbaglio) come: data una variet\'a $M$ con due campo vettoriali $T$ e $T'$, chiamata $F$ la derivata di $T$ rispetto a $T'$, e presa una funzione (differenziabile) da questa variet\'a ad un'altra variet\'a $N$ che mandi $T$ in $A$ e $T'$ in $A'$, con derivata covariante $F'$, questa applicazione mander\'a anche $F$ in $F'$...
"ciampax":
1) il primo addendo $\partial / {\partial x^i}$ rappresenta la derivazione vera è propria, fatto lungo la direzione del campo $X=\xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}$ espresso nelle coordinate locali sulla carta $(U,x^i)$;
2) Il secondo addendo rappresenta invece la "distorsione" della tua derivata rispetto al piano tangente: se hai studiato un po' queste cose, saprai che i campi $\partial/{\partial x^i}$ sono riferimenti locali per lo spazio tangente $T_x(U)$, e quindi la derivata precedente rappresenta solo la parte che giace lungo lo spazio tangente. Ma se la tua varietà è "curvata" (non è piatta come $R^n$) allora necessariamente il suo andamento non giacerà nel "piano" dello spazio tangente, bensì sulla varietà stessa. Il secondo addendo misura esattamente questa sorta di "proiezione" dallo spazio tangente ad una varietà alla varietà stessa di tale derivata!
questo discorso vorrei capirlo un pò meglio... in sostanza mi stai dicendo che questo \'e il modo in cui la derivata covariante precedentemente definita si definisce per "coordinate", giusto?
La prima parte , visto che esegue le derivate su una carta locale non pu\'o considerare la struttura locale della superficie, visto che la mappa l'ha "appiattita" in un certo senso, giusto?
quindi ci si aspetta un termine ulteriore che consideri la struttura locale, ma questo fatto di proiezione della derivata dallo spazio tangente alla variet\'a non mi è chiaro... hai in mente una qualche figura geometrica di variet\'a immerse in un qualche R^n? no perch\'e non riesco ad immaginarmi questa "proiezione"....
"ciampax":
Per la seconda domanda, devo darti una notizia terribile: i simboli di Christoffel di prima specie, non si definiscono a partire dalle metriche, ma dalle connessioni lineri. Infatti, se $\nabla$ è una connessione linerare (se vuoi poi ti scrivo la definizione) allora in una carta locale $(U,x^i)$ hai
$\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial x^j}=\Gamma_{ij}^k\frac{\partial}{\partial x^k}.$
Nel caso in cui la connessione lineare sia quella di Levi-Civita (cioè quell'unica connessione che parallelizza la metrica $g$, cioè $\nabla g=0$, e che ha torsione nulla), puoi definire i suoi coefficienti a partire dalla formula di Christoffel per i simboli di "seconda specie"
interessante! ... a questo punto però credo di aver perso l'ultima ora e mezzo a cercar di capire cose che in realtà non ho capito... la connessione lineare non era un concetto indipendente da metriche e fissata solo dalla varietà col suo fibrato tangente? forse vuoi dire che la metrica $g$ è l'unica parallelizzata dalla connessione?... oppure ho guardato la definizione sbagliata di connessione.... questo punto mi sta molto a cuore...
"ciampax":
$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2} g^{km}(\frac{\partial g_{im}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jm}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^m}).$
In ogni caso, quali che siano i simboli di Christoffel usati, risulta che la definizione precedente è covariante per cambiamenti di coordinate. Prova a fare il calcolo e te ne accorgerai. Se hai ancora bisogno, fammi sapere.
si in realtà ho ancora bisogno...
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