Densità di Q in R

[RattoPazzo]

Una domanda veloce, qualcuno saprebbe spiegarmi perché $QQ$ è denso in $RR$? Da quel che ho capito, un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico $(X,\tau)$ è ivi denso sse la sua chiusura $\bar A$ è uguale ad $X$, che equivale a chiedere che $AA B in (X,\tau), B nn A != {}$ (Insieme nullo). Praticamente la condizione è che per ogni $x in QQ$ e per ogni intorno arbitrariamente piccolo di $x$ esista un razionale appartenente all'intorno, no? Come è possibile mostrarlo? Cosa mi garantisce che non esista un intorno contenente solo irrazionali?

[j18eos]

"Paz":[...]Praticamente la condizione è che per ogni $ x in QQ $ e per ogni intorno arbitrariamente piccolo di $ x $ esista un razionale appartenente all'intorno, no? [...]

Sì!

"Paz":[...] Come è possibile mostrarlo? Cosa mi garantisce che non esista un intorno contenente solo irrazionali?

Dipende dalla costruzione che utilizzi di \(\displaystyle\mathbb{R}\): assiomatica di Gödel, segmenti di Pasch, segmenti di Dedekind, successioni di razionali soddisfacenti la condizione di Cauchy, altro...

[RattoPazzo]

Giusto grazie, allora se per esempio considero i segmenti di Dedekind o la costruzione tramite successioni razionali (che sono quelle con cui ho più familiarità) come posso dedurre la densità di Q dalle condizioni che ho scritto sopra?

[marco2132k]

Se sei convinto che in \( \mathbb R \) vale la proprietà archimedea (per ogni \( x\in \mathbb R \), \( x > 0 \) e per ogni \( y\in \mathbb R \), esiste \( n\in \mathbb N \) tale che \( nx > y \)), puoi fare così.

Dati due numeri reali distinti \( a \) e \( b \), per i quali si può assumere che sia \( a < b \), prendi \( n \) tale che \( 1/n < b - a \) (cioè prendi \( n \) tale che il segmento che va da \( 0 \) a \( 1/n \) sia più piccolo del diametro di \( \left[x,y\right] \): allora, esiste un \( m\in \mathbb Z \) tale che \( x < m\cdot 1/n < y \) (cioè facendo qualche \( m \) salti di lunghezza \( 1/n \) vai a finire dentro \( \left[x,y\right] \)).

Questo segue appunto dalla proprietà archimedea, la quale segue dalla completezza (alla Dedekind o metrica).

[j18eos]

Nella costruzioni di \(\mathbb{R}\) come completamento di \(\mathbb{Q}\) a la Cauchy ottieni che ogni numero ìè il limite di una successione di numeri razionali, per cui ogni intorno trovo sempre almeno un numero razionale.