Densità
Ciao!
Nell'intento di imparare a padroneggiare le definizioni ho fatto questo esercizio:
Sia $(X,tau)$ uno spazio topologico(con $Xneemptyset$) e $emptyset subsetYsubseteqX$ un sottoinsieme.
Mostrare che:
[size=85]Con $overline(*)$ denoto la chiusura, con $*^c$ il complementare e con $tau$ la topologia.[/size]
dim
le faccio entrambe per assurdo, mi è sembrato abbastanza evidente come contraddire le ipotesi.
$Leftarrow$
se per assurdo si avesse $overline(Y)subsetX$ si avrebbe che $overline(Y)^c in tau$ e sarebbe non vuoto(di fatto se fosse vuoto, si avrebbe $overline(Y)=X$) quindi $overline(Y)^c cap Yne emptyset$(per ipotesi) e allo stesso tempo essendo $Ysubseteqoverline(Y) => overline(Y)^c cap Y=emptyset$.
$Rightarrow$
supponiamo per assurdo che $existsA in tau|Ane emptyset( YcapA=emptyset)$ questo significa che $Ysubseteq A^c$ ed essendo $A$ aperto $A^c$ dev'essere chiuso. Per ipotesi $X=overline(Y)$ quindi $XsubseteqA^c => A^c=X => A=emptyset$
Edit: [size=85]in base all'osservazione @shocker ho aggiunto $|A ne emptyset$ in $Rightarrow$[/size]
Nell'intento di imparare a padroneggiare le definizioni ho fatto questo esercizio:
Sia $(X,tau)$ uno spazio topologico(con $Xneemptyset$) e $emptyset subsetYsubseteqX$ un sottoinsieme.
Mostrare che:
$overline(Y)=X <=> forallA in tau|Ane emptyset( AcapYne emptyset)$
[size=85]Con $overline(*)$ denoto la chiusura, con $*^c$ il complementare e con $tau$ la topologia.[/size]
dim
le faccio entrambe per assurdo, mi è sembrato abbastanza evidente come contraddire le ipotesi.
$Leftarrow$
se per assurdo si avesse $overline(Y)subsetX$ si avrebbe che $overline(Y)^c in tau$ e sarebbe non vuoto(di fatto se fosse vuoto, si avrebbe $overline(Y)=X$) quindi $overline(Y)^c cap Yne emptyset$(per ipotesi) e allo stesso tempo essendo $Ysubseteqoverline(Y) => overline(Y)^c cap Y=emptyset$.
$Rightarrow$
supponiamo per assurdo che $existsA in tau|Ane emptyset( YcapA=emptyset)$ questo significa che $Ysubseteq A^c$ ed essendo $A$ aperto $A^c$ dev'essere chiuso. Per ipotesi $X=overline(Y)$ quindi $XsubseteqA^c => A^c=X => A=emptyset$
Edit: [size=85]in base all'osservazione @shocker ho aggiunto $|A ne emptyset$ in $Rightarrow$[/size]
Risposte
Nella freccia $=>$ hai preso un aperto generico, invece a te serve $A != \emptyset$, altrimenti non è un ragionamento per assurdo. Comunque la dimostrazione mi sembra giusta. 
Ciao Shocker!
[ot]ma dov'eri finito? non ho visto comparire il tuo nome per un po'[/ot]
grazie di avermelo fatto notare. Ho aggiunto dopo aver finito il testo ' $|A ne emptyset$ ' all'inizio e ho dimenticato di metterlo anche alla fine
[ot]ma dov'eri finito? non ho visto comparire il tuo nome per un po'[/ot]
grazie di avermelo fatto notare. Ho aggiunto dopo aver finito il testo ' $|A ne emptyset$ ' all'inizio e ho dimenticato di metterlo anche alla fine
[ot]Vi leggo giornalmente, l'unica differenza è che adesso ho meno tempo per rispondere 
[/ot]
Ciao anto
[/ot]Ciao anto
Ciao, da quello che ricordo (ho visto questi argomenti mesi fa, e la scuola mi sta letteralmente [strike]fottendo[/strike] ogni forma di tempo libero, quindi non esitare a farmelo notare se il post è incasinato/insulso ) puoi dire che in uno spazio topologico \( (X,\tau)=(X,\mathcal{I}_x) \), dove con \( \mathcal{I}_x \) indico la collezione degli intorni[nota]Che credo tu abbia definito come "sottoinsiemi di \( X \) contenenti un aperto della topologia".[/nota] del punto \( x\in X \), la chiusura di un insieme \( S\subset X \) è l'insieme dei suoi punti aderenti. (E puoi porre come def. di chiuso il fatto che \( S=\overline{S} \): ti giova in questo caso). Ciò che tu stai cercando di provare è (\( {\Leftarrow} \)) che, se l'intersezione di ogni aperto di \(\tau\) non vuoto con \( Y\subseteq X \) è non vuota, allora la chiusura di \( Y \) coincide con l'intero spazio. Che sia \( \overline{Y}\subseteq X \) è ovvio, e altrettanto è l'inclusione inversa, poiché se \( x \) appartiene a \( X \), allora ogni suo intorno intersecherà \( Y \). Per quanto riguarda (\( {\Rightarrow} \)), vedi che se \( \overline Y = X \), \( x\in X \), allora tutti gli intorni di \( x \) intersecano \( Y \), e ciò accade per ogni punto dello spazio, "esaurendo gli aperti" (almeno questa è l'idea).
Questa è la prima dimostrazione diretta (e forse più semplice della tua) che mi è venuta in mente. (Però appunto fa uso dei singoli punti dello spazio, più che dei suoi aperti, quindi non è il massimo: forse è più "analitica" bo).
) puoi dire che in uno spazio topologico \( (X,\tau)=(X,\mathcal{I}_x) \), dove con \( \mathcal{I}_x \) indico la collezione degli intorni[nota]Che credo tu abbia definito come "sottoinsiemi di \( X \) contenenti un aperto della topologia".[/nota] del punto \( x\in X \), la chiusura di un insieme \( S\subset X \) è l'insieme dei suoi punti aderenti. (E puoi porre come def. di chiuso il fatto che \( S=\overline{S} \): ti giova in questo caso). Ciò che tu stai cercando di provare è (\( {\Leftarrow} \)) che, se l'intersezione di ogni aperto di \(\tau\) non vuoto con \( Y\subseteq X \) è non vuota, allora la chiusura di \( Y \) coincide con l'intero spazio. Che sia \( \overline{Y}\subseteq X \) è ovvio, e altrettanto è l'inclusione inversa, poiché se \( x \) appartiene a \( X \), allora ogni suo intorno intersecherà \( Y \). Per quanto riguarda (\( {\Rightarrow} \)), vedi che se \( \overline Y = X \), \( x\in X \), allora tutti gli intorni di \( x \) intersecano \( Y \), e ciò accade per ogni punto dello spazio, "esaurendo gli aperti" (almeno questa è l'idea).Questa è la prima dimostrazione diretta (e forse più semplice della tua) che mi è venuta in mente. (Però appunto fa uso dei singoli punti dello spazio, più che dei suoi aperti, quindi non è il massimo: forse è più "analitica" bo).
"marco2132k":
Questa è la prima dimostrazione diretta (e forse più semplice della tua) che mi è venuta in mente. (Però appunto fa uso dei singoli punti dello spazio, più che dei suoi aperti, quindi non è il massimo: forse è più "analitica" bo).
In realtà è molto carina, poi fa uso degli aperti: un intorno di un punto è un insieme che contiene un aperto che contiene il punto, come hai scritto anche tu, quindi se non ci fosse questo aperto non avresti che $Y \nn U != \emptyset$.
Se non si conosce la caratterizzazione di chiusura che hai usato è istruttivo dimostrarla.
Bella!
Ciao.
Ciao Marco,
Al momento ho preferito concentrarmi su concetti essenzialmente nuovi(per me) della topologia, utilizzando come definizioni di chiusura/parte interna quelle basate sull'unione di tutti gli aperti contenuti e le intersezioni di tutti i chiusi contenenti.
Comunque sia ti ringrazio, gli ho dato lo stesso una lettura.
La terrò bene a mente per quando mi concentrerò sulle particolari proprietà dei punti
Al momento ho preferito concentrarmi su concetti essenzialmente nuovi(per me) della topologia, utilizzando come definizioni di chiusura/parte interna quelle basate sull'unione di tutti gli aperti contenuti e le intersezioni di tutti i chiusi contenenti.
Comunque sia ti ringrazio, gli ho dato lo stesso una lettura.
La terrò bene a mente per quando mi concentrerò sulle particolari proprietà dei punti
"anto_zoolander":
Sia $(X,tau)$ uno spazio topologico(con $Xneemptyset$) e $emptyset subsetYsubseteqX$ un sottoinsieme.
Mostrare che:$overline(Y)=X <=> forallA in tau|Ane emptyset( AcapYne emptyset)$
[size=85]Con $overline(*)$ denoto la chiusura, con $*^c$ il complementare e con $tau$ la topologia.[/size]
dim
le faccio entrambe per assurdo, mi è sembrato abbastanza evidente come contraddire le ipotesi.
$Leftarrow$
se per assurdo si avesse $overline(Y)subsetX$ si avrebbe che $overline(Y)^c in tau$ e sarebbe non vuoto(di fatto se fosse vuoto, si avrebbe $overline(Y)=X$) quindi $overline(Y)^c cap Yne emptyset$(per ipotesi) e allo stesso tempo essendo $Ysubseteqoverline(Y) => overline(Y)^c cap Y=emptyset$.
$Rightarrow$
supponiamo per assurdo che $existsA in tau|Ane emptyset( YcapA=emptyset)$ questo significa che $Ysubseteq A^c$ ed essendo $A$ aperto $A^c$ dev'essere chiuso. Per ipotesi $X=overline(Y)$ quindi $XsubseteqA^c => A^c=X => A=emptyset$
Come primo tentativo va bene, adesso fallo:
1) togliendo le ipotesi inutili che imbruttiscono l'enunciato (sta a te capire quali sono);
2) senza fare le dimostrazioni per assurdo;
3) facendo sì che tra ogni passaggio ci sia un $<=>$.
Buona fortuna.
Ciao otta! ti aspettavo 
penso basti fare l'equivalenza per contronominale, ossia
le equivalenze funzionano perché:
1. $AsubsetX$ necessariamente in quanto se fosse $A=X$ per $Y$ non vuoto si avrebbe $YcapXne emptyset$
2. la chiusura di un insieme è il più piccolo chiuso contente l'insieme
3. $A^c$ non può essere $emptyset$ in quanto altrimenti $A=X$
4. è necessario che la topologia non sia quella banale $tau={emptyset,X}$
4bis. se $tau$ non è banale esiste un qualche aperto tale che $overline(Y)subseteqA^csubsetX$
per 4bis. basta considerare che $overline(Y)subseteqoverline(Y)$ quindi prendere $A^c=overline(Y)$ di fatto $overline(Y)^c capY=emptyset$
dovrebbe essere soddisfacente. Considerando che le ipotesi sono due e che la seconda non mi sembra sia brutta, suppongo che ti riferissi al togliere $emptyset subset Y$. Di fatto considerando la contronominale questa diventa superflua. L'essere $Xne emptyset$ la lascerei, altrimenti l'unica topologia possibile sarebbe $tau={emptyset}$ che non mi pare utile.
penso basti fare l'equivalenza per contronominale, ossia
$existsA in tau|Ane emptyset(YcapA=emptyset) <=> overline(Y)subsetX$
[size=90]$exists A in tau|Ane emptyset(YcapA=emptyset) <=> existsA in tau|Ane emptyset(YsubseteqA^csubsetX) <=> exists A in tau|Ane emptyset(overline(Y)subseteqA^csubsetX) <=> overline(Y)subsetX$[/size]
le equivalenze funzionano perché:
1. $AsubsetX$ necessariamente in quanto se fosse $A=X$ per $Y$ non vuoto si avrebbe $YcapXne emptyset$
2. la chiusura di un insieme è il più piccolo chiuso contente l'insieme
3. $A^c$ non può essere $emptyset$ in quanto altrimenti $A=X$
4. è necessario che la topologia non sia quella banale $tau={emptyset,X}$
4bis. se $tau$ non è banale esiste un qualche aperto tale che $overline(Y)subseteqA^csubsetX$
per 4bis. basta considerare che $overline(Y)subseteqoverline(Y)$ quindi prendere $A^c=overline(Y)$ di fatto $overline(Y)^c capY=emptyset$
dovrebbe essere soddisfacente. Considerando che le ipotesi sono due e che la seconda non mi sembra sia brutta, suppongo che ti riferissi al togliere $emptyset subset Y$. Di fatto considerando la contronominale questa diventa superflua. L'essere $Xne emptyset$ la lascerei, altrimenti l'unica topologia possibile sarebbe $tau={emptyset}$ che non mi pare utile.
"anto_zoolander":
1. $AsubsetX$ necessariamente in quanto se fosse $A=X$ per $Y$ non vuoto si avrebbe $YcapXne emptyset$
Vedi sotto.
4. è necessario che la topologia non sia quella banale
Ah, quindi se la topologia è banale il teorema non vale?
suppongo che ti riferissi al togliere $emptyset subset Y$.
Supponi bene.
L'essere $Xne emptyset$ la lascerei
Io no.
Comunque complessivamente non c'è male, dai
"otta96":
Ah, quindi se la topologia è banale il teorema non vale?
No, non vale.
Se $tau$ è la topologia banale allora ogni sottoinsieme non vuoto è denso in $X$.
Infatti l'insieme dei chiusi coincide con la topologia e quindi ogni insieme non vuoto è contenuto in un unico chiuso ossia $X$ stesso. Quindi $Y$ è denso in $X$.
Si ma è anche vero che ogni insieme non vuoto interseca ogni aperto non vuoto, quindi è vero nella topologia banale, quindi non andava escluso.
Va be' ho sbagliato a scrivere 
Ho scritto 'non vale' e poi ho dimostrato che vale
Ho scritto 'non vale' e poi ho dimostrato che vale
Comunque io sono dell'idea che ipotesi inutili nei teoremi non ci debbano essere (salvo casi particolari) per svariati motivi, uno dei quali è che qualcuno potrebbe essere portato a pensare che quando non sono soddisfatte quelle ipotesi la tesi non sia vera, com'è appena successo.
Si sicuramente ridurre all'osso le ipotesi è buono.
Solitamente quando devo fare qualcosa uso ipotesi abbastanza dolci e poi vedo dove posso limare.
Solitamente quando devo fare qualcosa uso ipotesi abbastanza dolci e poi vedo dove posso limare.
[ot]
Inizi assumendo la tesi?[/ot]
"anto_zoolander":
[...] Solitamente quando devo fare qualcosa uso ipotesi abbastanza dolci [...]
Inizi assumendo la tesi?[/ot]
@delirium
[ot] certo prima di ogni altra cosa. Mi do così una carica in più pensando di averne già dato una dimostrazione[/ot]
[ot]
certo prima di ogni altra cosa. Mi do così una carica in più pensando di averne già dato una dimostrazione[/ot]
Vabbé, comunque volevo dire una cosa, molto simile alla critica che fa otta (con il quale mi trovo spesso d'accordo nell'interpretazione dei post di anto).
Il simbolo \(\subset\) di solito significa la stessa cosa che \(\subseteq\). Non lo usare come fai tu, anto. Non si capisce cosa vuoi dire. Se leggo \(\varnothing \subset X\), istintivamente penso "grazie a Ciccillo", come dicono a Foggia, perché \(\varnothing\) è un sottoinsieme di tutti gli insiemi. È un simbolismo barocco, bislacco e inutile.
Scrivi a parole, "sia \(X\) non vuoto", o scrivi a parte "\(X\ne \varnothing\)", o non lo scrivere proprio che tanto si capisce, suvvia.
PS.: "Ciccillo" è il soprannome in foggiano di un certo organo umano.
Il simbolo \(\subset\) di solito significa la stessa cosa che \(\subseteq\). Non lo usare come fai tu, anto. Non si capisce cosa vuoi dire. Se leggo \(\varnothing \subset X\), istintivamente penso "grazie a Ciccillo", come dicono a Foggia, perché \(\varnothing\) è un sottoinsieme di tutti gli insiemi. È un simbolismo barocco, bislacco e inutile.
Scrivi a parole, "sia \(X\) non vuoto", o scrivi a parte "\(X\ne \varnothing\)", o non lo scrivere proprio che tanto si capisce, suvvia.
PS.: "Ciccillo" è il soprannome in foggiano di un certo organo umano.
"dissonance":
PS.: "Ciccillo" è il soprannome in foggiano di un certo organo umano.
penso di aver capito
"dissonance":
Il simbolo $subset$ di solito significa la stessa cosa che $subseteq$
A proposito di questa critica: mi trovate d'accordo. Sono andato a spulciare le definizioni usate dal Manetti, proprio perchè lui usa $subset$ come lo intendete voi, e mi sono persuaso. Infatti il simbolo $subseteq$ l'ho trovato in testi un po' più vecchiotti.
"Delirium":
[ot]Inizi assumendo la tesi?[/ot]
"dissonance":
Scrivi a parole, "sia \( X \) non vuoto", o scrivi a parte "\( X\ne \varnothing \)", o non lo scrivere proprio che tanto non serve, suvvia.
(modifica in rosso mia)
"dissonance":
Il simbolo \(\subset\) di solito significa la stessa cosa che \(\subseteq\).
Falso: \(A\subset B\) significa "\(A\subseteq B\) e \(B\not\subseteq A\)", che è strettamente più forte di \(A\subseteq B\).
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