Densità

[anto_zoolander]

Ciao!
Nell'intento di imparare a padroneggiare le definizioni ho fatto questo esercizio:

Sia $(X,tau)$ uno spazio topologico(con $Xneemptyset$) e $emptyset subsetYsubseteqX$ un sottoinsieme.
Mostrare che:

$overline(Y)=X <=> forallA in tau|Ane emptyset( AcapYne emptyset)$

[size=85]Con $overline(*)$ denoto la chiusura, con $*^c$ il complementare e con $tau$ la topologia.[/size]


dim
le faccio entrambe per assurdo, mi è sembrato abbastanza evidente come contraddire le ipotesi.

$Leftarrow$
se per assurdo si avesse $overline(Y)subsetX$ si avrebbe che $overline(Y)^c in tau$ e sarebbe non vuoto(di fatto se fosse vuoto, si avrebbe $overline(Y)=X$) quindi $overline(Y)^c cap Yne emptyset$(per ipotesi) e allo stesso tempo essendo $Ysubseteqoverline(Y) => overline(Y)^c cap Y=emptyset$.

$Rightarrow$
supponiamo per assurdo che $existsA in tau|Ane emptyset( YcapA=emptyset)$ questo significa che $Ysubseteq A^c$ ed essendo $A$ aperto $A^c$ dev'essere chiuso. Per ipotesi $X=overline(Y)$ quindi $XsubseteqA^c => A^c=X => A=emptyset$

Edit: [size=85]in base all'osservazione @shocker ho aggiunto $|A ne emptyset$ in $Rightarrow$[/size]

[dissonance]

@fmnq: sono solo convenzioni. Anto, in questo post, usava \(\subset\) nel senso che dici tu. Ma molto spesso non si usa questa convenzione.

https://en.wikipedia.org/wiki/Subset#%E ... 83_symbols