Delucidazione: vettori linearmente dipendenti e indipendenti
Salva a tutti,
pensando alla def. di vettori linearmente dipendenti e di vettori linearmente indipendenti mi sorgeva spontaneo tale osservazione, ovvero "visto che se i vettori sono linearmente dipendenti allora esistono n scalari di cui almeno uno non nullo tale che ... ma quindi in tale definizione è ammesso il caso in cui tutti gli scalari siano nulli, e quindi è possibile dire che i vettori sono linearmente indipendenti se sono linearmente dipendenti e tutti gli scalari sono nulli".. osservazione lecita? Io tra me e me penso di si! Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
pensando alla def. di vettori linearmente dipendenti e di vettori linearmente indipendenti mi sorgeva spontaneo tale osservazione, ovvero "visto che se i vettori sono linearmente dipendenti allora esistono n scalari di cui almeno uno non nullo tale che ... ma quindi in tale definizione è ammesso il caso in cui tutti gli scalari siano nulli, e quindi è possibile dire che i vettori sono linearmente indipendenti se sono linearmente dipendenti e tutti gli scalari sono nulli".. osservazione lecita? Io tra me e me penso di si! Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
Risposte
"garnak.olegovitc":
visto che se i vettori sono linearmente dipendenti allora esistono n scalari di cui almeno uno non nullo tale che ... ma quindi in tale definizione è ammesso il caso in cui tutti gli scalari siano nulli
Ma certo che no. Perché siano linearmente dipendenti è necessario che ne esista almeno uno nonnullo. Chiaramente il caso in cui tutti i coefficienti della combinazione lineare siano nulli c'è sempre, ma se i vettori sono lin dipendenti, questo non può essere l'unico caso!
No, no: $n\geq 1$ vettori sono linearmente indipendenti se e solo se non solo linearmente dipendenti, cioè se e solo se per averne una combinazione lineare nulla tutti gli scalari che li moltiplicano devono essere nulli.
$n\geq 1$ vettori \(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\) sono linearmente dipendenti se e solo se esistono scalari \(a_1,...,a_n\) di cui almeno uno non nullo tali che \(a_1\mathbf{v}_1,...,a_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\), ma ovviamente anche \(0·\mathbf{v}_1,...,0·\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\). Al contrario $n$ vettori \(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\) sono linearmente indipendenti se e solo se l'unico modo per avere \(a_1\mathbf{v}_1,...,a_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\) è con \((a_1,...,a_n)=(0,...,0)\)-
Ho scritto $n\geq 1$ perché vale anche per un solo vettore, che è linearmente indipendente, preso da solo, se e solo se è il vettore nullo.
Ciao!
P.S.: Scusa, Seneca, stavamo scrivendo contemporaneamente. Posto comunque la mia risposta, caso mai servisse a qualcosa.
$n\geq 1$ vettori \(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\) sono linearmente dipendenti se e solo se esistono scalari \(a_1,...,a_n\) di cui almeno uno non nullo tali che \(a_1\mathbf{v}_1,...,a_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\), ma ovviamente anche \(0·\mathbf{v}_1,...,0·\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\). Al contrario $n$ vettori \(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\) sono linearmente indipendenti se e solo se l'unico modo per avere \(a_1\mathbf{v}_1,...,a_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\) è con \((a_1,...,a_n)=(0,...,0)\)-
Ho scritto $n\geq 1$ perché vale anche per un solo vettore, che è linearmente indipendente, preso da solo, se e solo se è il vettore nullo.
Ciao!
P.S.: Scusa, Seneca, stavamo scrivendo contemporaneamente. Posto comunque la mia risposta, caso mai servisse a qualcosa.
Salve Seneca,
Ma certo che no. Perché siano linearmente dipendenti è necessario che ne esista almeno uno nonnullo. Chiaramente il caso in cui tutti i coefficienti della combinazione lineare siano nulli c'è sempre, ma se i vettori sono lin dipendenti, questo non può essere l'unico caso![/quote]
porca miseria... hai ragione...
pensavo a tutt'altra cosa!!! Devo dormire un pò di più.. grazie lo stesso cmq anche se il topic mi rendo conto solo ora di averlo aperto inutilmente!!
Cordiali saluti
"Seneca":
[quote="garnak.olegovitc"]visto che se i vettori sono linearmente dipendenti allora esistono n scalari di cui almeno uno non nullo tale che ... ma quindi in tale definizione è ammesso il caso in cui tutti gli scalari siano nulli
Ma certo che no. Perché siano linearmente dipendenti è necessario che ne esista almeno uno nonnullo. Chiaramente il caso in cui tutti i coefficienti della combinazione lineare siano nulli c'è sempre, ma se i vettori sono lin dipendenti, questo non può essere l'unico caso![/quote]
porca miseria... hai ragione...
pensavo a tutt'altra cosa!!! Devo dormire un pò di più.. grazie lo stesso cmq anche se il topic mi rendo conto solo ora di averlo aperto inutilmente!!Cordiali saluti
Salve,
ormai che sono arrivato qui prolunghiamo un pò la discussione, se non mi sbaglio i vettori sono linearmente dipendenti se non sono linearmente indipendenti, ovvero se non è verificata tale implicazione \( \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ... + \alpha_r \cdot v_r = \vec 0 \rightarrow \alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_r=0 \).. ma come si scrive il contrario di questa implicazione? Io pensavo, così: \( \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ... + \alpha_r \cdot v_r = \vec 0 \) e \( \alpha_1 \neq \alpha_2 \neq...\neq \alpha_r \neq 0 \) .. secondo voi è giusto? Io sono convinto di no... ma non saprei!! Anche perchè negare la catena di uguaglianze \( \alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_r=0 \) è come negare " \( \alpha_1=0 \) e \(\alpha_2=0 \) e ...e \( \alpha_r=0 \)"... che equivale a dire "\( \alpha_1\neq 0 \) o \(\alpha_2 \neq 0 \) o ...o \( \alpha_r \neq 0 \)"...
Ringrazio anticipatamente
Cordiali saluti
ormai che sono arrivato qui prolunghiamo un pò la discussione, se non mi sbaglio i vettori sono linearmente dipendenti se non sono linearmente indipendenti, ovvero se non è verificata tale implicazione \( \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ... + \alpha_r \cdot v_r = \vec 0 \rightarrow \alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_r=0 \).. ma come si scrive il contrario di questa implicazione? Io pensavo, così: \( \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ... + \alpha_r \cdot v_r = \vec 0 \) e \( \alpha_1 \neq \alpha_2 \neq...\neq \alpha_r \neq 0 \) .. secondo voi è giusto? Io sono convinto di no... ma non saprei!! Anche perchè negare la catena di uguaglianze \( \alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_r=0 \) è come negare " \( \alpha_1=0 \) e \(\alpha_2=0 \) e ...e \( \alpha_r=0 \)"... che equivale a dire "\( \alpha_1\neq 0 \) o \(\alpha_2 \neq 0 \) o ...o \( \alpha_r \neq 0 \)"...
Ringrazio anticipatamente
Cordiali saluti
Ciao, negare l'affermazione "I coefficienti sono tutti nulli" significa dire "Esiste almeno un coefficiente non nullo", quindi direi che puoi scrivere $$
\exists \alpha_i \ne 0\ |\ \alpha_1\cdot v_1 + \alpha_2\cdot v_2 + ... = \vec{0},\ i = 1, 2, ..., r
$$
\exists \alpha_i \ne 0\ |\ \alpha_1\cdot v_1 + \alpha_2\cdot v_2 + ... = \vec{0},\ i = 1, 2, ..., r
$$
Salve minomic,
bhè si certo... hai ragione, ma se non volessi raggruppare gli indici come invece vedo hai fatto la mia ipotesi è corretta? Non è il mio un maniacale legame ad una inutile forma di scrittura ma soltanto una curiosità... Ovviamente la tua soluzione, da me letta in molti testi, è più che ottima...oltre che logicamente corretta!!!
Cordiali saluti
"minomic":
Ciao, negare l'affermazione "I coefficienti sono tutti nulli" significa dire "Esiste almeno un coefficiente non nullo", quindi direi che puoi scrivere $$
\exists \alpha_i \ne 0\ |\ \alpha_1\cdot v_1 + \alpha_2\cdot v_2 + ... = \vec{0},\ i = 1, 2, ..., r
$$
bhè si certo... hai ragione, ma se non volessi raggruppare gli indici come invece vedo hai fatto la mia ipotesi è corretta? Non è il mio un maniacale legame ad una inutile forma di scrittura ma soltanto una curiosità... Ovviamente la tua soluzione, da me letta in molti testi, è più che ottima...oltre che logicamente corretta!!!
Cordiali saluti
Direi che va bene anche come hai scritto tu:$$
......,\ \alpha_1 \ne 0 \vee \alpha_2 \ne 0 \vee ...
$$
......,\ \alpha_1 \ne 0 \vee \alpha_2 \ne 0 \vee ...
$$
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