Delucidazione: applicazione lineare

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
la def. di applicazione lineare tra due spazi vettoriali è la seguente:

Un'applicazione lineare è un'applicazione (o funzione) $f$ tra i $K$-spazi vettoriali $V$ e $W$ che gode delle seguenti proprietà:

[*:13vyqemr] $f(v + w) = f(v) + f(w)$ , $\forall v, w \in V$[/*:m:13vyqemr]
[*:13vyqemr] $f(lambda \cdot v) = lambda \cdot f(v)$ , $\forall lambda \in K , \forall v \in V$.[/*:m:13vyqemr][/list:u:13vyqemr]

ma nella prima proprietà quel \( + \) è l'usuale addizione mentre nella seconda proprietà quel \( \cdot \) è l'usuale moltiplicazione?
Ringrazio anticipatamente!
Spero di essere stato chiaro!

Cordiali saluti

[Kashaman]

Il $+$ a sinistra è la somma definita su $V$ , mentre quella a destra quella definita su $W$.
Analogamente per $*$

[garnak.olegovitc1]

Salve Kashaman,

"Kashaman":Il $+$ a sinistra è la somma definita su $V$ , mentre quella a destra quella definita su $W$.
Analogamente per $*$

ti ringrazio intanto della risposta; quindi vediamo se ho capito bene, il \( + \) a sinistra è l'operazione interna binaria ovunque definita su \( V \) tale che questo sia anche un gruppo commutativo, stessa cosa dicasi anche per \( W \) anzi è la stessa operazione visto che sono sullo stesso corpo commutativo.. mentre il \( \cdot \) a sinistra è l'operazione esterna binaria ovunque definita su \( V \) e il \( \cdot \) a destra è l'operazione esterna binaria ovunque definita su \( W \) ma non per forza deve essere la stessa a quella di \( V \)... giusto?

Cordiali saluti

[Kashaman]

Non proprio. Mi spiego.
La $+$ a sinistra è l'operazione che fornisce a $V$ struttura di gruppo abeliano. Quella a destra fornisce a $W$ la struttura di gruppo abeliano.
Ma non per forza le due coincidono!
Prendi ad esempio $V=RR^4$ e $W=M_2(RR)$.
L'applicazione $\phi : V ->W $ tale che $f(x,y,z,t)=((x,z),(y,t))$ è lineare. Ma le operazioni dei due spazi vettoriali sono diverse.

Ciò non toglie che puoi avere effettivamente un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali uguali.
Ad esempio $g : R^2 -> R^2$ t.c $f(x,y)=(y,x)$ . In questo caso la $+$ a sinistra e la $+$ a destra risulterebbero le stesse.

[garnak.olegovitc1]

Salve Kashaman,
vero, hai ragione... sbagliavo io a pensare diversamente la definizione di spazio vettoriale... purtroppo il docente ce ne ha fornita una che devo ancora ben assimilare, appena posso e riesco a scriverla in latex te la posto così almeno mi dici cosa ne pensi... grazie!!
Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

Salve Kashaman,
allora forse ci sono riuscito a scriverla in latex sperando di non avere fatto errori:

Def.: siano dati \( E \) un gruppo commutativo rispetto ad \( + \) ed \( \cdot \) una legge di composizione esterna binaria ovunque definita su \( E \) ad operatori in \( K \), ove \( K \) è un campo rispetto ad \( \perp \) e \( \ast \), dicesi che \( E \) è uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \) se:

1)\( E \) è stabile rispetto ad \( \cdot \).
2)\( \alpha \cdot( \mathrm{x}+\mathrm{y})=\alpha \cdot \mathrm{x} + \alpha \cdot \mathrm{y} \) presi un qualunque \( \alpha \in K, \mathrm{x},\mathrm{y} \in E \).
3)\( (\alpha \perp \beta) \cdot \mathrm{x}= \alpha \cdot \mathrm{x} \perp \beta \cdot \mathrm{y} \) presi un qualunque \( \alpha, \beta \in K, \mathrm{x} \in E \).
4)\( (\alpha \ast \beta) \cdot \mathrm{x}=\alpha \cdot (\beta \cdot \mathrm{x}) \) presi un qualunque \( \alpha, \beta \in K, \mathrm{x} \in E \).
5)\( 1_K \cdot \mathrm{x}=\mathrm{x} \) preso un qualunque \( \mathrm{x} \in E \).

Che ne pensi? Io personalmente sono del parere che è molto pesante ma lui sostiene che così, anche se pesante, ci aiuta molto mentalmente a pensare certe cose in un modo piuttosto che in un altro.. quali sono queste cose ancora non le ho capite, ma aspetto ugualmente!!

Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

Salve Kashaman,

"Kashaman":Il $+$ a sinistra è la somma definita su $V$ , mentre quella a destra quella definita su $W$.
Analogamente per $*$

mi domandavo allora perchè in molti testi non è specificato?

Cordiali saluti

[Plepp]

"garnak.olegovitc":Salve Kashaman,

[quote="Kashaman"]Il $+$ a sinistra è la somma definita su $V$ , mentre quella a destra quella definita su $W$.
Analogamente per $*$

mi domandavo allora perchè in molti testi non è specificato?
Cordiali saluti[/quote]
Perché è abbastanza evidente e perché diventa seccante - nonché pesante da leggere - una notazione del tipo $+_\mathbb{K}$, $+_V$ etc...Anche se non mi trovo con quel che dici: da quel che mi risulta, due paroline un autore le spende sempre a proposito di questo fatto.

La definizione è quella, non c'è granché da dire Detto tra noi, uno spazio vettoriale lo ottieni, a partire da gruppo commutativo $(V,+_V)$* e un campo $(\mathbb{K},+_\mathbb{K}, \cdot_\mathbb{K})$, quando definisci su $V$ un'operazione esterna $\cdot_V:\mathbb{K}\times V\to V$ che soddisfi tutta quella sfilza di assiomi.

Forse un esempio ti può aiutare meglio a interiorizzare meglio il discorso. Considera $V=\mathbb{R}^2$ con l'usuale somma $+$ tra coppie ordinate ($(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)$, dove la $+$ che compare a secondo membro è la solita $+$ di $\mathbb{R}$), rispetto alla quale - puoi verificarlo se ti va di far conti - è un gruppo abeliano, e definisci su $V$ il prodotto
\[\cdot:\mathbb{R}\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\\
\forall\lambda \in\mathbb{R},\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\quad \lambda\cdot (a,b):=(\lambda a, \lambda b) \]
(il campo che stiamo considerando è dunque $\mathbb{R}$ munito delle usuali operazioni di somma e prodotto). Verifica che $(\mathbb{R}^2,+,\cdot)$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ (si dice anche spazio vettoriale reale), ovvero che sono verificate tutte le proprietà che hai elencato

__________________________________
* l'operazione interna è generalmente denotata col simbolo $+$, che poco ha a che vedere, in generale, con la somma tra numeri reali, interi o complessi che siano.

[garnak.olegovitc1]

Salve Plepp,

"Plepp":
Perché è abbastanza evidente e perché diventa seccante - nonché pesante da leggere - una notazione del tipo $+_\mathbb{K}$, $+_V$ etc...Anche se non mi trovo con quel che dici: da quel che mi risulta, due paroline un autore le spende sempre a proposito di questo fatto.

La definizione è quella, non c'è granché da dire Detto tra noi, uno spazio vettoriale lo ottieni, a partire da gruppo commutativo $(V,+_V)$* e un campo $(\mathbb{K},+_\mathbb{K}, \cdot_\mathbb{K})$, quando definisci su $V$ un'operazione esterna $\cdot_V:\mathbb{K}\times V\to V$ che soddisfi tutta quella sfilza di assiomi.

bhè sì forse sono stato un pò troppo frettoloso a dire che in molti testi non lo si specifica, in effetti ho pochi testi alla mano ed ho sbagliato a tirar fuori conclusioni di quel tipo... cmq concordo in pieno!!

Cordiali saluti

P.S.=Comunque posso parlare per lo Stoka, ed in questo non mi sembra purtroppo di aver letto una qualche spiegazione in merito a ciò...