Definizione vettore nullo
Salve,
chiedo un piccolo chiarimento a cui ho un dubbio, sulla definizione di vettore nullo.
Se ad esempio prendo questa definizione: Sia A una matrice $mxn$, A ha rango di colonna pieno ssse A non possiede un vettore nullo.
A non possiede un vettore nullo; vuol dire questo:
se $\vec x!= \vec 0 rArr A \vec x = \vec 0 rArr \vec x = \vec 0 $
perciò il vettore nullo in questo contesto non vuol dire che $\vec x$ è il vettore tutto zero, ma è il vettore che facendo prodotto scalare con la matrice A, la matrice A si annulla.
E' corretto tutto questo?
Perciò esistono due definizioni di vettore nullo:
-$ \vec x= \vec 0$, cioè l'elemento neutro in una somma.
-$ \vec x!= \vec 0$, cioè l'elemento (basi??) che moltiplicato (prodotto scalare) con una matrice, la matrice si annulla.
Ringrazio chi aiuta :)
chiedo un piccolo chiarimento a cui ho un dubbio, sulla definizione di vettore nullo.
Se ad esempio prendo questa definizione: Sia A una matrice $mxn$, A ha rango di colonna pieno ssse A non possiede un vettore nullo.
A non possiede un vettore nullo; vuol dire questo:
se $\vec x!= \vec 0 rArr A \vec x = \vec 0 rArr \vec x = \vec 0 $
perciò il vettore nullo in questo contesto non vuol dire che $\vec x$ è il vettore tutto zero, ma è il vettore che facendo prodotto scalare con la matrice A, la matrice A si annulla.
E' corretto tutto questo?
Perciò esistono due definizioni di vettore nullo:
-$ \vec x= \vec 0$, cioè l'elemento neutro in una somma.
-$ \vec x!= \vec 0$, cioè l'elemento (basi??) che moltiplicato (prodotto scalare) con una matrice, la matrice si annulla.
Ringrazio chi aiuta :)
Risposte
Scusami, sarà l'ora, ma francamente non ci ho capito molto del tuo post. Il vettore nullo di $K^n$ è il vettore $(0,...,0)$. Fine.
Non capisco ciò che scrivi, perchè fai riferimento a prodotto scalare, a matrici. E' chiaro che moltiplicando il vettore nullo per una qualsiasi matrice tu abbia lo $0$, ma questa non è certo una definizione. Tra l'altra tu fai vedere che $x=0$ e $x ne 0$ che mi pare una contraddizione evidente no?
Nel caso non sono riuscito a cogliere le tue domande, oltre a scusami, ti chiedo di essere un po' più chiaro!
Tra l'altro non è affatto vero che una matrice $m \times n$ ha rango massimo se e solo se non ha il vettore nullo. Pensa banalmente alla matrice $((1,1),(1,1))$
Non capisco ciò che scrivi, perchè fai riferimento a prodotto scalare, a matrici. E' chiaro che moltiplicando il vettore nullo per una qualsiasi matrice tu abbia lo $0$, ma questa non è certo una definizione. Tra l'altra tu fai vedere che $x=0$ e $x ne 0$ che mi pare una contraddizione evidente no?
Nel caso non sono riuscito a cogliere le tue domande, oltre a scusami, ti chiedo di essere un po' più chiaro!
Tra l'altro non è affatto vero che una matrice $m \times n$ ha rango massimo se e solo se non ha il vettore nullo. Pensa banalmente alla matrice $((1,1),(1,1))$
@mistake: ham_burst usa il termine "vettore nullo" sia nel senso che intendi tu, sia nel senso di "vettore che appartiene al nucleo di $A$". Inoltre il chiamare "prodotto scalare" il prodotto di una matrice per un vettore è un abuso di linguaggio che si usa talvolta nei libri applicati.
@ham_burst: Se questo ti porta confusione, meglio cambiare notazioni. Come sopra: si usa dire che $x$ appartiene al nucleo di $A$ se $Ax=0$. Comunque mistake ha ragione, non ti sei espresso bene: questo ha sicuramente aumentato l'entità dei tuoi dubbi.
@ham_burst: Se questo ti porta confusione, meglio cambiare notazioni. Come sopra: si usa dire che $x$ appartiene al nucleo di $A$ se $Ax=0$. Comunque mistake ha ragione, non ti sei espresso bene: questo ha sicuramente aumentato l'entità dei tuoi dubbi.
Ti ringrazio Dissonance, non conoscevo queste notazioni.
Grazie delle risposte.
Chiarisco il mio problema, e mi scuso di aver creato confusione. Ma se ho confusione io, mi è stato difficile non scrivere una cosa errata. Son qua proprio x correggierla.
Resetto e rifurmulo, se me lo permettete.
Il mio dubbio è partito da questo teorema:
Sia A una matrice mxn, A ha rango di colonna pieno ssse A non possiede un vettore nullo.
Se tutte le colonne sono linearmente indipendenti ha rango massimo cioè n, giusto? perciò la definizione è vera da questo punto.
Ma il mio problema è vettore nullo e la sua definizione in questo teorema.
Chiedo due cose, così chiarisco tutto in un unico post:
- cosa vuol dire che "A non possiede un vettore nullo".
- come dimostro l'implicazione $rArr$ e $lArr$ (ssse)
Ho risolto $rArr$ ma con il dubbio riportato resetto tutto e chiedo se potete chiarirmi tutto voi.
Ringrazio davvero
Chiarisco il mio problema, e mi scuso di aver creato confusione. Ma se ho confusione io, mi è stato difficile non scrivere una cosa errata. Son qua proprio x correggierla.
Resetto e rifurmulo, se me lo permettete.
Il mio dubbio è partito da questo teorema:
Sia A una matrice mxn, A ha rango di colonna pieno ssse A non possiede un vettore nullo.
Se tutte le colonne sono linearmente indipendenti ha rango massimo cioè n, giusto? perciò la definizione è vera da questo punto.
Ma il mio problema è vettore nullo e la sua definizione in questo teorema.
Chiedo due cose, così chiarisco tutto in un unico post:
- cosa vuol dire che "A non possiede un vettore nullo".
- come dimostro l'implicazione $rArr$ e $lArr$ (ssse)
Ho risolto $rArr$ ma con il dubbio riportato resetto tutto e chiedo se potete chiarirmi tutto voi.
Ringrazio davvero
Credo che la definizione di vettore nullo, sia vettore appartenente al $ker$ di $L_A$ cioè dell'applicazione lineare associata alla matrice.
In caso contrario vale solo una implicazione, in quanto al viceversa ti ho fornito un banale controesempio nel post sopra.
In caso contrario vale solo una implicazione, in quanto al viceversa ti ho fornito un banale controesempio nel post sopra.
Come dicevo sopra, in questo caso "vettore nullo" sta per "vettore $x!=0$ tale che $Ax=0$". Notazione che reputo parecchio infelice, ma che a volte si usa. Per dimostrare il tuo teorema conviene osservare che, dette $A_1, A_2...A_n$ le colonne di $A$, risulta che
$Ax=x_1A_1+x_2A_x+...+x_nA_n$.
$Ax=x_1A_1+x_2A_x+...+x_nA_n$.
Sarà una di quelle terribili notazioni mutuate dall'inglese.
In English, il "null space of the matrix [tex]$A$[/tex]" è l'insieme [tex]$\mathcal{N} (A)$[/tex] dei vettori [tex]$x$[/tex] tali che [tex]$Ax=\underline{0}$[/tex]; quindi probabilmente in English il termine "null vector" si usa per denotare un elemento [tex]$x\in \mathcal{N} (A)$[/tex].
Da questo probabilmente è derivata la pessima (perchè genera ambiguità) traduzione italiana vettore nullo per denotare un generico elemento di [tex]$\mathcal{N} (A)$[/tex].
In English tale ambiguità non c'è, perchè il vettore [tex]$\underline{0}$[/tex] si chiama "zero vector".
In English, il "null space of the matrix [tex]$A$[/tex]" è l'insieme [tex]$\mathcal{N} (A)$[/tex] dei vettori [tex]$x$[/tex] tali che [tex]$Ax=\underline{0}$[/tex]; quindi probabilmente in English il termine "null vector" si usa per denotare un elemento [tex]$x\in \mathcal{N} (A)$[/tex].
Da questo probabilmente è derivata la pessima (perchè genera ambiguità) traduzione italiana vettore nullo per denotare un generico elemento di [tex]$\mathcal{N} (A)$[/tex].
In English tale ambiguità non c'è, perchè il vettore [tex]$\underline{0}$[/tex] si chiama "zero vector".
Questo mi ricorda il "prolungamento triviale" di una funzione, che ho letto talvolta su qualche libro 
(potrebbero farci su una canzone Elio e le storie tese).
(potrebbero farci su una canzone Elio e le storie tese).
[OT]
Ohmiodio... Manca solo un'empusa che si scopre il seno, poi il quadretto è completo.
[/OT]
"dissonance":
"prolungamento triviale"
Ohmiodio... Manca solo un'empusa che si scopre il seno, poi il quadretto è completo.
[/OT]
Confesso che non avevo mai sentito la parola empusa 
[OT]
In realtà non la ricordavo nemmeno io...
Però "triviale" mi ha fatto tornare alla mente una cosa letta millemila anni fa (se non ricordo male era il glossario in fondo a Elena, Elena, Amore mio di De Crescenzo): ossia questi esseri mitologici, metà donna e metà asina, che adescavano uomini ai trivi scoprendosi il seno, per poi divorarli... Ovviamente non ricordavo il nome ed ho faticato non poco per ritrovarlo (aiutato da Google, più che dalla memoria).
Tuttavia ancora sono in dubbio se la parola esatta nel glossario fosse effettivamente "empusa", o piuttosto "lamia". L'unico modo per avere una certezza sarebbe avere sotto mano una copia del libro (che fosse proprio quello sono sicuro al 100%!), ma al momento mi manca...
[/OT]
"Camillo":
Confesso che non avevo mai sentito la parola empusa
In realtà non la ricordavo nemmeno io...
Però "triviale" mi ha fatto tornare alla mente una cosa letta millemila anni fa (se non ricordo male era il glossario in fondo a Elena, Elena, Amore mio di De Crescenzo): ossia questi esseri mitologici, metà donna e metà asina, che adescavano uomini ai trivi scoprendosi il seno, per poi divorarli... Ovviamente non ricordavo il nome ed ho faticato non poco per ritrovarlo (aiutato da Google, più che dalla memoria).
Tuttavia ancora sono in dubbio se la parola esatta nel glossario fosse effettivamente "empusa", o piuttosto "lamia". L'unico modo per avere una certezza sarebbe avere sotto mano una copia del libro (che fosse proprio quello sono sicuro al 100%!), ma al momento mi manca...
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Fantastico, ci è voluto un po' ma adesso il dubbio è ok.
Non avevo legato la definizione di kernel a questo teorema, mi son tornati in mente alcuni concetti che avevo dimenticato. Vi ringrazio davvero.
L'idea che ci sia una traduzione sbagliata penso sia plausibile, il libro da cui ho preso la definizione non è di Algebra Lineare, ma è un capitolo di un libro che tratta molti argomenti sugli algoritmi, è un libro internazionale.
PS: avendo la biblioteca in università ho cercato il libro sopra, avevano na vecchia edizione, per chiarire pure un dubbio a voi, questa è la definizione di empusa e lamia:
Si impara sempre qualcosa di nuovo
Ciao e grazie
Non avevo legato la definizione di kernel a questo teorema, mi son tornati in mente alcuni concetti che avevo dimenticato. Vi ringrazio davvero.
L'idea che ci sia una traduzione sbagliata penso sia plausibile, il libro da cui ho preso la definizione non è di Algebra Lineare, ma è un capitolo di un libro che tratta molti argomenti sugli algoritmi, è un libro internazionale.
PS: avendo la biblioteca in università ho cercato il libro sopra, avevano na vecchia edizione, per chiarire pure un dubbio a voi
, questa è la definizione di empusa e lamia:Si impara sempre qualcosa di nuovo
Ciao e grazie
[OT]
@ham_burst: Ma quello è proprio il dizionario del libro di De Crescenzo?
(Che cosa ci facesse in una biblioteca universitaria mi pare un mistero...)
Ad ogni modo, grazie per esserti preso il disturbo e per aver fugato i miei dubbi.
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@ham_burst: Ma quello è proprio il dizionario del libro di De Crescenzo?
(Che cosa ci facesse in una biblioteca universitaria mi pare un mistero...
)Ad ogni modo, grazie per esserti preso il disturbo e per aver fugato i miei dubbi.
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