Definizione giacitura di un piano

[kondor1]

Salve a tutti,
qualcuno è in grado di darmi una definizione rigorosa di giacitura di un piano? Ho cercato un pò in giro, anche nel forum, ma non ho trovato granchè.

Grazie

[kondor1]

In realtà negli appunti ho una definizione di giacitura com "spazio vettoriale che determina il sottospazio affine mediante traslazione"...ma non capisco cosa voglia dire .

In seguito parla di giacitura di un piano $\pi$, come [tex]\Omega_{\pi} = \left ( \overrightarrow{P_1P_2} : P_1, P_2 \in \pi \right )[/tex] .

Concettualmente ho capito che sarebbe l'analogo della direzione per le rette, ma vorrei avere una definizione rigorosa per capirci di più, e sapere se questo che ho negli appunti è corretto o meno.

Grazie.

[jitter1]

Kondor, ti riporto la def. di sernesi (p. 95):

Siano:
V un K-spazio vettoriale
A uno spazio affine su V
Q un punto di A
W un sottospazio di V

Il sottospazio affine passante per un punto Q di A e parallelo a W è il sottoinsieme S di A costituito da tutti i punti P di A tali che il vettore QP appartiene a W".

W si dice giacitura di S.

[jitter1]

P.S. A me scrivere le parametriche aiuta a visualizzare la cosa:

$P = ( ( x ),( y ),( z ) ) in S $

$ ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( (x_Q), (y_Q),(z_Q)) + kvec(u) + kvec(v) $

$ ( ( x ),( y ),( z ) ) - ( (x_Q), (y_Q),(z_Q)) = kvec(u) + kvec(v) $

$ PQ = kvec(u) + kvec(v) $

La giacitura è W = .

La definizione infatti dice che, affinché P appartenga al sottospazio affine S, PQ deve appartenere al sottospazio vettoriale W.

[kondor1]

"jitter":Kondor, ti riporto la def. di sernesi (p. 95):

Siano:
V un K-spazio vettoriale
A uno spazio affine su V
Q un punto di A
W un sottospazio di V

Il sottospazio affine passante per un punto Q di A e parallelo a W è il sottoinsieme S di A costituito da tutti i punti P di A tali che il vettore QP appartiene a W".

W si dice giacitura di S.

Innanzitutto grazie per la risposta.
Allora se consideriamo lo spazio euclideo $\mathbb{E}^3$, se volessi applicare la definizione di giacitura ad un piano? ancora una volta sò che nella pratica basta risolvere l'equazione omogenea associata al piano, ma non ho capito il fondamento teorico che c'è dietro...

[jitter1]

Occhio ai bernoccoli.

Prendi un punto qualsiasi P dello spazio affine A.
Prendi il vettore PQ.
Se PQ appartiene a W, allora P è un punto del piano. Se PQ non appartiene a W, allora P non è un punto del piano.

Dall'ultima domanda non ho capito se vuoi partire dall'educazione cartesiana del piano per esplicitarne la giacitura (1), oppure viceversa se vuoi scrivere le equazioni di un piano data la sua giacitura e un suo punto (2).

1) Supponiamo di conoscere l'equazione cartesiana di un piano, p. es. x + y - z + k = 0. (Qui uso k non come parametro, ma come "termine noto" generico, quindi non si tratta di un fascio ma di un piano).

Vogliamo scrivere la giacitura.

Prendiamo tre punti del piano: P (0, 0, k), Q (1, 0, k+1), R (0, 1, k+1).
Sia P che Q appartengono al piano, quindi, per la definizione, Il vettore PQ appartiene alla giacitura. PQ = (1, 0, 1).
Lo stesso vale per QR = (-1, 1, 0).
Abbiamo quindi la giacitura: <(1,0,1), (-1,1,0)>.
Il termine noto k è scomparso, quindi è come aver considerato l'equazione omogenea (questo volevi sapere?).

2) Voglio determinare il piano passante per il punto Q(1,2,3) e parallelo al sottospazio W=<(2,1,4), (1,0,1).
il piano che cerco è l'insieme dei punti P tali che QP appartiene a W, quindi tali che:

(x, y, z) - (1,2,3) = m(2,1,4) + n(1,0,1)
(x, y, z) = (1,2,3) + m(2,1,4) + n(1,0,1)

[kondor1]

"jitter":](*,) Occhio ai bernoccoli.

Prendi un punto qualsiasi P dello spazio affine A.
Prendi il vettore PQ.
Se PQ appartiene a W, allora P è un punto del piano. Se PQ non appartiene a W, allora P non è un punto del piano.

Dall'ultima domanda non ho capito se vuoi partire dall'educazione cartesiana del piano per esplicitarne la giacitura (1), oppure viceversa se vuoi scrivere le equazioni di un piano data la sua giacitura e un suo punto (2).

1) Supponiamo di conoscere l'equazione cartesiana di un piano, p. es. x + y - z + k = 0. (Qui uso k non come parametro, ma come "termine noto" generico, quindi non si tratta di un fascio ma di un piano).

Vogliamo scrivere la giacitura.

Prendiamo tre punti del piano: P (0, 0, k), Q (1, 0, k+1), R (0, 1, k+1).
Sia P che Q appartengono al piano, quindi, per la definizione, Il vettore PQ appartiene alla giacitura. PQ = (1, 0, 1).
Lo stesso vale per QR = (-1, 1, 0).
Abbiamo quindi la giacitura: <(1,0,1), (-1,1,0)>.
Il termine noto k è scomparso, quindi è come aver considerato l'equazione omogenea (questo volevi sapere?).

Si, grazie era proprio questo che m'interessava, capire il motivo per cui se considero lo spazio delle soluzioni dell'omogenea associata ottengo proprio la giacitura.
Difatti le soluzioni di $x+y-z=0$ sono proprio $<(1,0,1),(-1,1,0)>$

[jitter1]

grazie a te, nel rispondere mi son chiarita meglio le idee