Definizione di superficie differenziabile
Salve a tutti, sto studiando geometria differenziale dal Sernesi II e ho un dubbio sulla definizione di superficie differenziabile. Il testo definisce sottovarietà differenziabile di $ \mathbb{R}^N$ di dimensione $n$ un sottospazio $X$ di $\mathbb{R}^N$ tale che ogni punto ha un intorno aperto diffeomorfo a un aperto di $ \mathbb{R}^n$. Per $n=2$, $N=3$ si ottiene la definizione di superficie differenziabile.
Dunque, una superficie differenziabile è un oggetto molto più restrittivo di una varietà differenziabile di dimensione 2, contenuta in $ \mathbb{R}^3$? Sembrerebbe di sì. Infatti, siano $A$ un aperto di $ \mathbb{R}^2$ e $f: A rarr \mathbb{R}$ una funzione continua, ma non differenziabile. Allora, il grafico di $f$ è una varietà differenziabile di dimensione 2, in quanto è ricoperta dall'unica carta $\phi: (x,y,f(x,y)) \in Graph f |-> (x,y) \in A$. Ma non credo che sia una superficie differenziabile, nel senso precedente. Infatti, $\phi^{-1}$ non è un diffeomorfismo, e non vedo come se ne possano costruire altri. Tuttavia, non so come potrei dimostrare che non esistano altri diffeomorfismi intorno a qualche punto di $Graph f$ (i punti di non differenziabilità?). Suggerimenti?
Dunque, una superficie differenziabile è un oggetto molto più restrittivo di una varietà differenziabile di dimensione 2, contenuta in $ \mathbb{R}^3$? Sembrerebbe di sì. Infatti, siano $A$ un aperto di $ \mathbb{R}^2$ e $f: A rarr \mathbb{R}$ una funzione continua, ma non differenziabile. Allora, il grafico di $f$ è una varietà differenziabile di dimensione 2, in quanto è ricoperta dall'unica carta $\phi: (x,y,f(x,y)) \in Graph f |-> (x,y) \in A$. Ma non credo che sia una superficie differenziabile, nel senso precedente. Infatti, $\phi^{-1}$ non è un diffeomorfismo, e non vedo come se ne possano costruire altri. Tuttavia, non so come potrei dimostrare che non esistano altri diffeomorfismi intorno a qualche punto di $Graph f$ (i punti di non differenziabilità?). Suggerimenti?
Risposte
Hai ragione. Infatti Sernesi usa un cavillo notazionale piuttosto fastidioso: distingue (mi pare) tra "sottovarietà di $R^n$" e "sottovarietà" e basta, qualcosa del genere. Quando parla di sottovarietà di $R^n$ intende quello che successivamente chiamerà "sottovarietà regolare", ossia una cosa che è compatibile con la struttura differenziabile della varietà ambiente.
L'esempio che tu porti mostra chiaramente che esistono altre varietà differenziabili in $R^n$. Ma esse non sono compatibili con la struttura differenziale della varietà ambiente, e quindi sono oggetti patologici che in geometria non si considerano.
L'esempio che tu porti mostra chiaramente che esistono altre varietà differenziabili in $R^n$. Ma esse non sono compatibili con la struttura differenziale della varietà ambiente, e quindi sono oggetti patologici che in geometria non si considerano.
Grazie mille!
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