Definizione di spazio vettoriale
Ho iniziato da pochissimo la lettura di un testo di algebra lineare e vorrei chiedere un chiarimento su una definizione.
In particolare ladefinizione di spazio vettoriale dice che l'insieme V, $(V,+,*)$ e uno s.v. se valgono le proprietà:
- (V,+) gruppo commutativo
- * sia una operazione binaria con varie proprietà
Il punto è che vedo non richiedere che ad esempio per l'associatività $a(b*v)=(ab)*v$ o qualunque altra proprietà (altro esempio): $(a+b)*v$=$a*v+b*v$ i singoli termini $(a+b)*v$, $a*v+b*v$, $a(b*v)$, $(ab)*v$ debbano appartenere o meno a V.
Insomma: v appartiene a V, ma $(a+b)*v$ oppure $a(b*v)$ vi appartengono anche essi? O possono esistere spazi vettoriali per cui valga l'uguaglianza $(u+v)+w=u+(v+w)$ ma tale per cui (u+v)+w non appartenga a V?
Grazie
In particolare ladefinizione di spazio vettoriale dice che l'insieme V, $(V,+,*)$ e uno s.v. se valgono le proprietà:
- (V,+) gruppo commutativo
- * sia una operazione binaria con varie proprietà
Il punto è che vedo non richiedere che ad esempio per l'associatività $a(b*v)=(ab)*v$ o qualunque altra proprietà (altro esempio): $(a+b)*v$=$a*v+b*v$ i singoli termini $(a+b)*v$, $a*v+b*v$, $a(b*v)$, $(ab)*v$ debbano appartenere o meno a V.
Insomma: v appartiene a V, ma $(a+b)*v$ oppure $a(b*v)$ vi appartengono anche essi? O possono esistere spazi vettoriali per cui valga l'uguaglianza $(u+v)+w=u+(v+w)$ ma tale per cui (u+v)+w non appartenga a V?
Grazie
Risposte
Probabilmente il testo considerare scontata la definizione; le proprietà a te note sono implicite nella dicitura "con varie proprietà".
Aspetta mi sono spiegato male mi sa, perdonami. Non ho trascritto le proprietà ma sono riportate nel libro, tuttavia il libro non spiega bene se nelle varie proprietà quando io devo avere ad esempio (solo una delle tante) l'associatività (u+v)+w=u+(v+w) non dice se i due termini (u+v)+w ed u+(v+w) appartengono a loro volta a V?
Altro es. anche per a(b⋅v)=(ab)⋅v i due termine dell'uguaglianza appartengono essi stessi a V?
Ti ringrazio
Altro es. anche per a(b⋅v)=(ab)⋅v i due termine dell'uguaglianza appartengono essi stessi a V?
Ti ringrazio
Di solito, quando viene data la definizione di spazio vettoriale e vengono elencate le proprietà che devono avere le due operazioni si dice anche, prima di tutto, che devono essere chiuse.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Grazie per la risposta alex 
Perfetto, lo immaginavo ma volevo esserne certo, non aveva parlato minimamente di chiusura, se non per il sottospazio.
Ma per gli spazi non affermava dovessero i vari "membri" delle proprietà appartenere a loro volta a V
PS:correggimi se sbaglio ma potrei quindi dire che sono operazione binarie interne +: VxV->V ad esempio
Perfetto, lo immaginavo ma volevo esserne certo, non aveva parlato minimamente di chiusura, se non per il sottospazio.
Ma per gli spazi non affermava dovessero i vari "membri" delle proprietà appartenere a loro volta a V
PS:correggimi se sbaglio ma potrei quindi dire che sono operazione binarie interne +: VxV->V ad esempio
Non sono abbastanza esperto per rispondere con sicurezza ... direi che "l'addizione di vettori" è sicuramente un'operazione binaria interna mentre non sarei sicurissimo sulla "moltiplicazione per uno scalare" in quanto, certamente il risultato è un vettore e quindi l'operazione è chiusa ma nell'operazione viene usato anche uno "scalare" che non è un vettore ... vediamo altri pareri ...
@ciospo: cos'è un gruppo?
@magma: lo ha definito utilizzando quanto scritto per lo spazio vettoriale, affermando che la struttura V dotata di quella somma con quelle proprietà è "un gruppo commutativo". E a margine afferma che se manca la proprietà commutatività è un gruppo.
Ma mancava la chiusura di cui alex accennava, quindi mi chiedevo se potesse essere +: VxV->W
giusto!
Ma mancava la chiusura di cui alex accennava, quindi mi chiedevo se potesse essere +: VxV->W
"axpgn":
Non sono abbastanza esperto per rispondere con sicurezza ... direi che "l'addizione di vettori" è sicuramente un'operazione binaria interna mentre non sarei sicurissimo sulla "moltiplicazione per uno scalare" in quanto, certamente il risultato è un vettore e quindi l'operazione è chiusa ma nell'operazione viene usato anche uno "scalare" che non è un vettore ... vediamo altri pareri ...
giusto!
"ciospo":
@magma: lo ha definito utilizzando quanto scritto per lo spazio vettoriale, affermando che la struttura V dotata di quella somma con quelle proprietà è "un gruppo commutativo". E a margine afferma che se manca la proprietà commutatività è un gruppo.
Ma mancava la chiusura di cui alex accennava.
Nella definizione di spazio vettoriale non viene esplicitata quella di gruppo, semmai è data per scontata.
Sia $Xne Ø$, $**$ operazione su $X$ ([nota]Sia $Xne Ø$. Si definisce operazione binaria interna su $X$ una funzione:
$**: qquad X xxX->X$
$qquad (x,y)|->x**y in X$
[/nota]). Si dice che $(X,**)$ è un gruppo se$qquad (x,y)|->x**y in X$
$(1)$ $**$ è associativa
$(2)$ $EE$ elemento neutro rispetto a $**$
$(3)$ Se ogni elemento di $X$ è invertibile
Inoltre, se $**$ è anche commutativa, si dice che $(X, **)$ è un gruppo abeliano.
A te verificare che $(ZZ, +)$ e $(RR, +)$ sono esempi di gruppi abeliani; prova anche a capire perché $(RR, *)$ non è un gruppo
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