Definizione di sottospazio vettoriale: la vendetta

[Plepp]

Salve ragazzi.
Mi pareva di aver dimostrato quanto segue.

Proposizione. Sia $(V,+,\cdot)$ un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale e sia $W\subseteq V$. Allora:
\[
\begin{cases}
(W,+)\text{ sottogruppo di }(V,+)\\
W\text{ chiuso rispetto a }\cdot
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
W\ne \varnothing\\
W\text{ chiuso rispetto a } +\\
W\text{ chiuso rispetto a }\cdot
\end{cases}
\]
Per dimostrare questo fatto ho ragionato così:

"Plepp, nell'altro thread,":Cominciamo con $(\Rightarrow)$. Non c'è nulla da provare Per ipotesi $W$ è un sottogruppo di $(V,+)$, quindi è non vuoto e chiuso rispetto a $+_V$; la chiusura rispetto al prodotto esterno ce l'abbiamo in entrambe le definizioni.

Continuiamo con $(\Leftarrow)$, provando innanzitutto che per ogni $v$ elemento di $V$, $(-1_\mathbb{K})v=-v$. Si ha
\[(-1_\mathbb{K})v+v=(-1_\mathbb{K})v+1_\mathbb{K}v=(-1_\mathbb{K}+1_\mathbb{K})v=0_\mathbb{K}v=0_V\]
($+_V$ è commutativa, perciò la dimostrazione di questo fatto finisce qua); risparmiami di dimostrare che $0_\mathbb{K}v=0_V$, ti prego
Torniamo a noi. Per ipotesi $W$ è chiuso rispetto al prodotto esterno, quindi $ (-w) \in W\ (\subseteq V)$ in base a quanto appena provato. Per ipotesi $W$ è chiuso rispetto alla somma, per cui dati due vettori $w,w'\in W$ si ha che $w+(-w')\in W$, cioè $w-w'\in W$, ossia $W$ è sottogruppo di $(V,+)$ (in base alla caratterizzazione dei sottogruppi; ricordo che tra le ipotesi c'è anche $W\ne \emptyset$). Come già detto, la chiusura rispetto a $\cdot_V$ c'è in entrambe le definizioni.

Ho letto e riletto quanto ho scritto, ma non riesco a trovare niente che faccia una piega...senonché, senza leggere la mia dimostrazione, la mia Professoressa di Geometria afferma che la Proposizione in questione è falsa. Dove sbaglio (ammesso che sbagli - effettivamente oggi mi pare stesse un po' stordita poverina )?

[perplesso1]

Sergio il tuo $W$ non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per uno scalare infatti $(-1)* 2 = -2 \notin W$ quindi non va bene come controesempio. Secondo me quello che ha detto Plepp è giusto, incasinato ma giusto.

[Plepp]

"Sergio":
@Plepp: hai ragione. Ti dirò di più: il Sernesi definisce \(W\subset V\) come sottospazio di \(V\) proprio in questo modo

Si me ne sono accorto poco fa! Grazie Sergio

@Perplesso: che c'è di incasinato? Vero che è un po' informale (dal momento che era un discorso che facevo ad un mio collega), ma nn mi pare poi così disordinato

[perplesso1]

"Plepp":che c'è di incasinato?

La mia testa xD Iera sera non riuscivo a capire perchè hai mostrato che $(-1)*v+v=0$ In generale trovo sia un problema interessante cercare di determinare condizioni "minime" affinche un sottoinsieme sia un sottospazio. Ad esempio sto pensando che se $X$ è un insiemi di generatori del campo $K$ e inoltre $(W,+)$ è un semigruppo e $W$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione per gli scalari di $X$, si potrebbe concludere che $W$ è un sottospazio (sempre se non prendo un abbaglio )