Definizione di matrici, vettori ed n-uple
ciao,
una cosa che non sono mai riuscito a capire è perchè in matematica discreta i vettori (intesi come matrici monodimensionali del tipo $1\times n$ o $m\times 1$) vengono assimilati in tutto e per tutto alle n-uple.
ciò che si dovrebbe avere, invece, è che ad esempio $(1,2,3)\in\mathbb{R}^3$, mentre $[1 2 3]\notin\mathbb{R}^3$ e $[[1],[2],[3]]\notin\mathbb{R}^3$; d'altra parte $(1,2,3)\notin M_{1\times 3}(\mathbb{R})$ mentre $[1 2 3]\in M_{1\times 3}(\mathbb{R})$ e $[[1],[2],[3]]\in M_{3\times 1}(\mathbb{R})$: tutto questo sostanzialmente in quanto $\mathbb{R}^3\ne M_{1x3}(\mathbb{R})\ne M_{3x1}(\mathbb{R})$.
dove mi sbaglio?
grazie.
una cosa che non sono mai riuscito a capire è perchè in matematica discreta i vettori (intesi come matrici monodimensionali del tipo $1\times n$ o $m\times 1$) vengono assimilati in tutto e per tutto alle n-uple.
ciò che si dovrebbe avere, invece, è che ad esempio $(1,2,3)\in\mathbb{R}^3$, mentre $[1 2 3]\notin\mathbb{R}^3$ e $[[1],[2],[3]]\notin\mathbb{R}^3$; d'altra parte $(1,2,3)\notin M_{1\times 3}(\mathbb{R})$ mentre $[1 2 3]\in M_{1\times 3}(\mathbb{R})$ e $[[1],[2],[3]]\in M_{3\times 1}(\mathbb{R})$: tutto questo sostanzialmente in quanto $\mathbb{R}^3\ne M_{1x3}(\mathbb{R})\ne M_{3x1}(\mathbb{R})$.
dove mi sbaglio?
grazie.
Risposte
aspettiamo di sentire qualche parere autorevole al riguardo, ma spesso in matematica si "identificano" spazi ed elementi se si corrispondono mediante un omeomorfismo... non so se risponde alla tua domanda. dipende anche da quel che intendi per "assimilati". ciao.
dunque, mi pare evidente che posso pensare ad una funzione che associa ad ogni elemento di $\mathbb{R}^3$ un e un solo elemento di $M_{1\times3}(\mathbb{R})$ o $M_{3\times1}(\mathbb{R})$, ad esempio $(1,2,3)\mapsto [[1],[2],[3]]$, $(0,0,0)\mapsto [[0],[0],[0]]$, eccetera. pero' rimane il fatto che dominio e codominio di questa funzione rimangono del tutto distinti e diversi.
sarebbe come avere gli insiemi costituiti dalle lettere ${a,\ldots,z}$ e quello costituito dagli interi ${1,\ldots,26}$, e dire che i due insiemi coincidono in quanto è possibile trovare una funzione come quella di sopra.
sarebbe come avere gli insiemi costituiti dalle lettere ${a,\ldots,z}$ e quello costituito dagli interi ${1,\ldots,26}$, e dire che i due insiemi coincidono in quanto è possibile trovare una funzione come quella di sopra.
infatti non sono la stessa cosa. ma è come identificare ad esempio le classi di equivalenza (come insiemi, un tutt'uno, non come gli elementi che sono equivalenti tra loro) con elementi "rappresentanti" : pensa alla congruenza modulo 5, classi di numeri "identificati" con i numeri da 0 a 4...
forse è un salto eccessivo... io nel precedente intervento parlavo di omeomorfismi... ma quelli più banali che possono venirmi in mente sono tra i numeri reali e i punti di una retta... anche in quel caso c'è una identificazione, ma certo i due insiemi non sono uguali...
ciao.
forse è un salto eccessivo... io nel precedente intervento parlavo di omeomorfismi... ma quelli più banali che possono venirmi in mente sono tra i numeri reali e i punti di una retta... anche in quel caso c'è una identificazione, ma certo i due insiemi non sono uguali...
ciao.
sono andato a guardare la definizione insiemistica di matrice ed n-upla, e anche applicando queste definizioni i due enti matematici rimangono distinti.
denoto con X l'insieme ${a,b,c}$.
ad esempio il vettore riga $[a b c]$ è la funzione $R:{1}\times{1,2,3}\rightarrow X$ tale che:
$(1,1)\mapsto a$
$(1,2)\mapsto b$
$(1,3)\mapsto c$
il vettore colonna $[[a],,[c]]$, invece, è la funzione $C:{1,2,3}\times{1}\rightarrow X$ tale che:
$(1,1)\mapsto a$
$(2,1)\mapsto b$
$(3,1)\mapsto c$
la n-upla $(a,b,c)$, infine, è la funzione $T:{1,2,3}\rightarrow X$ tale che:
$1\mapsto a$
$2\mapsto b$
$3\mapsto c$
ancora non riesco a capire se ci sia qualcosa che mi sfugge da sotto il naso o se sono nel giusto.
denoto con X l'insieme ${a,b,c}$.
ad esempio il vettore riga $[a b c]$ è la funzione $R:{1}\times{1,2,3}\rightarrow X$ tale che:
$(1,1)\mapsto a$
$(1,2)\mapsto b$
$(1,3)\mapsto c$
il vettore colonna $[[a],,[c]]$, invece, è la funzione $C:{1,2,3}\times{1}\rightarrow X$ tale che:
$(1,1)\mapsto a$
$(2,1)\mapsto b$
$(3,1)\mapsto c$
la n-upla $(a,b,c)$, infine, è la funzione $T:{1,2,3}\rightarrow X$ tale che:
$1\mapsto a$
$2\mapsto b$
$3\mapsto c$
ancora non riesco a capire se ci sia qualcosa che mi sfugge da sotto il naso o se sono nel giusto.
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