Definizione di determinante

[Manugal]

Ciao a tutti!!

Non ho capito bene la definizione di determinante di una matrice, scritta in questa forma:

$\sum_(\sigmainS_n) sgn(\sigma)*a_(1\sigma(1))*a_(2\sigma(2))* . . . . *a_(n\sigma(n))

Chi può spiegarmela anche magari tramite un esempio? Grazie.

[alberto861]

se guardi lo sviluppo di laplace è l'esatta spiegazione..cmq ti sta dicendo che presa una permutazione degli indici($sigma$) cioè sostanzialmente un'applicazione che mischia i primi n-numeri(es dato n=3 una permutazione è una mappa $sigma$ da {1,2,3}-->{1,2,3} biettiva) allora devi prendere le somme dell'elemento $sigma(1)$ della prima riga per l'elemento $sigma(2)$ della seconda riga..per l'elemento $sigma(n)$ dell'n-esima riga con il segno della permutazione(+ se la permutazione è pari,- se è dispari) il segno di una permutazione è il numero dei cicli disgiunti in cui la si puo scomporre: esempio la $sigma$ da {1,2,3}-->{1,2,3} data da $sigma(1)=2$ $sigma(2)=1$ $sigma(3)$ può essere scritta come (1 2) il ciclo va letto così:se hai (a b c d) vuol dire che quella permutazione manda a in b,b in c, c in d e d in a (ciclo appunto perchè si richiude),ne caso precedente hai il un unico ciclo quindi prenderesti il meno...la somma del determinante è estesa su tutte le possibili permutazioni degli n-indici delle colonne che quindi sono n! elementi(infatti la cardinalità delle biezioni da {1,2,...n}--->{1,2,...n} è n! perchè per ogni biezioni hai n scelte sull'immagine di 1,una volta fissata questa hai n-1 scelòte per l'immagine di 2,una volta fissata questa hai n-2 scelte per l'immagine di 3 e così via quindi puoi ottenere n(n-1)(n-2)...1=n! permutazioni distinte)..spero di essere stato chiaro..certo è normale che se tu non hai fatto qualche esame di algebra potrebbe sembrarti arabo!!