Definizione di determinante
Ciao a tutti,
Ieri ho sostenuto l'esame orale di geometria (primo anno di ing. informatica) e la prof mi ha fatto una domanda a cui non ho saputo rispondere, e non sono neanche riuscita a trovare una risposta online o nei libri anche se è molto semplice, quindi chiedo aiuto a voi.
Nella formula del determinante
$ sum_(p in Theta_n ) sign p\cdot a_(p(1))^(1)\cdot ...\cdot a_(p(n))^n in K $
voleva sapere per che cosa vengono sommati gli elementi della sommatoria. Io so che quando si ha una sommatoria con sotto ad esempio "i = 1" e sopra "n" allora gli elementi vanno sommati n volte, ma in questo caso non c'è nessuna indicazione e non sapevo come rispondere. Inoltre non mi è molto chiaro il significato di "sign p". Qualcuno mi può aiutare? A causa di queste due cose mi ha invalidato tutta la dimostrazione del teorema di Laplace, nonostante l'avessi fatta perfettamente, quindi ho come l'impressione che siano concetti molto importanti!
Grazie mille in anticipo
Ieri ho sostenuto l'esame orale di geometria (primo anno di ing. informatica) e la prof mi ha fatto una domanda a cui non ho saputo rispondere, e non sono neanche riuscita a trovare una risposta online o nei libri anche se è molto semplice, quindi chiedo aiuto a voi.
Nella formula del determinante
$ sum_(p in Theta_n ) sign p\cdot a_(p(1))^(1)\cdot ...\cdot a_(p(n))^n in K $
voleva sapere per che cosa vengono sommati gli elementi della sommatoria. Io so che quando si ha una sommatoria con sotto ad esempio "i = 1" e sopra "n" allora gli elementi vanno sommati n volte, ma in questo caso non c'è nessuna indicazione e non sapevo come rispondere. Inoltre non mi è molto chiaro il significato di "sign p". Qualcuno mi può aiutare? A causa di queste due cose mi ha invalidato tutta la dimostrazione del teorema di Laplace, nonostante l'avessi fatta perfettamente, quindi ho come l'impressione che siano concetti molto importanti!
Grazie mille in anticipo
Risposte
data $p in Theta_n$, data cioè una permutazione di n elementi, possiamo definire la quantità "parità della permutazione". io personalmente l'ho sempre indicata con $epsilon(p)$ ma lui te la definisce come $sign(p)$. ad ogni modo è definita come segue:
\( \epsilon(p) := \begin{cases} +1 & se \; p \ è\ pari \\ -1 & se \; p \ è \ dispari \end{cases} \ \)
cioè vale 1 se il numero di scambi per riportarsi alla configurazione iniziale sono un numero pari.
$Theta_n$ è il gruppo simmetrico su $n$ elementi, sono cioè tutte le possibili permutazioni. è un gruppo finito costituito da $n!$ elementi ed è per questo che anche il determinante ne ha altrettanti.
sia $A in M_n (K)$ con $A=(a_(ij))$ dove $i,j=1, ... , n$. si definisce quindi determinate la quantità
$det A:= sum_(p in Theta_n) epsilon(p) a_(1p(1)) * * * a_(np(n))$
finiti i preamboli iniziamo...
l'indicazione c'è eccome: ti dice di sommare sulle permutazioni, cioè $p in Theta_n$. se per esempio vuoi calcolare il determinante di una matrice $2 xx 2$ hai che:
$ ( ( a_11 , a_12 ),( a_21 , a_22 ) ) $ mentre
$ Theta_2={p_1=id=( ( 1 , 2 ),( 1 , 2 ) ) , p_2=( ( 1 , 2 ),( 2 , 1 ) )} $ ed infine $epsilon(p_1)=1$, $epsilon(p_2)=-1$
allora $det A = a_(1p_1(1)) *a_(2p_1(2)) - a_(1p_2(1)) * a_(2p_2(2)) = a_11 a_22 - a_12 a_21$
questo perchè per esempio con $p_2(2)$: considerala seconda riga della matrice $p_2$ che ho scritto prima. con $p_2(2)$ si intende il secondo posto.
già spiegato all'inizio
direi che è importante capirli. nel calcolo del determinante vero e proprio però non si usano mai perchè un procedimento lunghissimo!
spero sia tutto chiaro!! altrimenti basta che tu scriva!
\( \epsilon(p) := \begin{cases} +1 & se \; p \ è\ pari \\ -1 & se \; p \ è \ dispari \end{cases} \ \)
cioè vale 1 se il numero di scambi per riportarsi alla configurazione iniziale sono un numero pari.
$Theta_n$ è il gruppo simmetrico su $n$ elementi, sono cioè tutte le possibili permutazioni. è un gruppo finito costituito da $n!$ elementi ed è per questo che anche il determinante ne ha altrettanti.
sia $A in M_n (K)$ con $A=(a_(ij))$ dove $i,j=1, ... , n$. si definisce quindi determinate la quantità
$det A:= sum_(p in Theta_n) epsilon(p) a_(1p(1)) * * * a_(np(n))$
finiti i preamboli iniziamo...
"Pittul":
in questo caso non c'è nessuna indicazione
l'indicazione c'è eccome: ti dice di sommare sulle permutazioni, cioè $p in Theta_n$. se per esempio vuoi calcolare il determinante di una matrice $2 xx 2$ hai che:
$ ( ( a_11 , a_12 ),( a_21 , a_22 ) ) $ mentre
$ Theta_2={p_1=id=( ( 1 , 2 ),( 1 , 2 ) ) , p_2=( ( 1 , 2 ),( 2 , 1 ) )} $ ed infine $epsilon(p_1)=1$, $epsilon(p_2)=-1$
allora $det A = a_(1p_1(1)) *a_(2p_1(2)) - a_(1p_2(1)) * a_(2p_2(2)) = a_11 a_22 - a_12 a_21$
questo perchè per esempio con $p_2(2)$: considerala seconda riga della matrice $p_2$ che ho scritto prima. con $p_2(2)$ si intende il secondo posto.
"Pittul":
non mi è molto chiaro il significato di "sign p".
già spiegato all'inizio
"Pittul":
ho come l'impressione che siano concetti molto importanti!
direi che è importante capirli. nel calcolo del determinante vero e proprio però non si usano mai perchè un procedimento lunghissimo!
spero sia tutto chiaro!! altrimenti basta che tu scriva!
Grazie mille!
Quindi se ho capito bene gli elementi vengono sommati per $n!$ e questo significa che nella matrice che hai proposto come esempio, dato che è una 2x2, devo sommare $2!$ volte?
Quindi se ho capito bene gli elementi vengono sommati per $n!$ e questo significa che nella matrice che hai proposto come esempio, dato che è una 2x2, devo sommare $2!$ volte?
si. per una matrice $3 xx 3$ hai 6 addendi, quindi hai che il determinante è formato da 6 "pezzi" che corrispondono a tutte le possibili permutazioni di 3 elementi.
Grazie mille, sei stato gentilissimo! 
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