Definizione di aperti e chiusi in uno spazio topologico
Salve a tutti,
di solito dato \((a,b)\) uno spazio topologico ed \( c \subseteq a \), l'insieme \(c\) dicesi aperto se \( c \in b\)... cercando sempre di inquadrare lo studio della topologia di base per capire o ampliare determinati concetti di analisi, nei testi di analisi trovo le seguenti definizioni:
Def.1.0: siano dati \( A \subseteq \Bbb{R}\), allora \(A \) è aperto se $$\forall x \in A (x \text{ è punto interno ad }A)$$ Def.1.1: siano dati \( A \subseteq \Bbb{R}\), allora \(A \) è chiuso se $$\Bbb{R}-A \text{ è aperto}$$la definizione di punto interno sempre nei testi di analisi è:
Def.1.2: siano dato \( x \in A \subseteq \Bbb{R}\), allora \(x \) è interno ad \(A \) se $$\exists Z \in \mathcal{U}_x(Z \subseteq A)$$ dove un intorno di \(x \) è definito come un qualsiasi intervallo aperto simmetrico centrato in \(x\) (sempre in analisi)
ora non so quanto sia lecito generalizzare e pensavo ad una definizione per spazi topologici:
Def.3.0: siano dati \( (a,b)\) uno spazio topologico, ed \( c \in d \subseteq a \), dicesi che \(c \) è punto interno ad \(d \)(rispetto ad \((a,b)\)) se $$\exists x \in \mathcal{U}_{(a,b)}(c)(x \subseteq d)$$ Def.3.1: siano dati \( (a,b)\) uno spazio topologico, ed \( c \subseteq a \), dicesi che \(c \) è aperto in \(a \) (rispetto ad \((a,b)\)) se $$\forall z \in c(z \text{ è punto interno ad }c )$$Def.3.2: siano dati \( (a,b)\) uno spazio topologico, ed \( c \subseteq a \), dicesi che \(c \) è chiuso in \(a \) (rispetto ad \((a,b)\)) se $$a-c \text{ è aperto in } a$$Ringrazio chiunque per qualsiasi delucidazion/spiegazione o conferma/smentita in merito..
di solito dato \((a,b)\) uno spazio topologico ed \( c \subseteq a \), l'insieme \(c\) dicesi aperto se \( c \in b\)... cercando sempre di inquadrare lo studio della topologia di base per capire o ampliare determinati concetti di analisi, nei testi di analisi trovo le seguenti definizioni:
Def.1.0: siano dati \( A \subseteq \Bbb{R}\), allora \(A \) è aperto se $$\forall x \in A (x \text{ è punto interno ad }A)$$ Def.1.1: siano dati \( A \subseteq \Bbb{R}\), allora \(A \) è chiuso se $$\Bbb{R}-A \text{ è aperto}$$la definizione di punto interno sempre nei testi di analisi è:
Def.1.2: siano dato \( x \in A \subseteq \Bbb{R}\), allora \(x \) è interno ad \(A \) se $$\exists Z \in \mathcal{U}_x(Z \subseteq A)$$ dove un intorno di \(x \) è definito come un qualsiasi intervallo aperto simmetrico centrato in \(x\) (sempre in analisi)
ora non so quanto sia lecito generalizzare e pensavo ad una definizione per spazi topologici:
Def.3.0: siano dati \( (a,b)\) uno spazio topologico, ed \( c \in d \subseteq a \), dicesi che \(c \) è punto interno ad \(d \)(rispetto ad \((a,b)\)) se $$\exists x \in \mathcal{U}_{(a,b)}(c)(x \subseteq d)$$ Def.3.1: siano dati \( (a,b)\) uno spazio topologico, ed \( c \subseteq a \), dicesi che \(c \) è aperto in \(a \) (rispetto ad \((a,b)\)) se $$\forall z \in c(z \text{ è punto interno ad }c )$$Def.3.2: siano dati \( (a,b)\) uno spazio topologico, ed \( c \subseteq a \), dicesi che \(c \) è chiuso in \(a \) (rispetto ad \((a,b)\)) se $$a-c \text{ è aperto in } a$$Ringrazio chiunque per qualsiasi delucidazion/spiegazione o conferma/smentita in merito..
Risposte
Sì, le tue definizioni 3.0, 3.1 e 3.2 sono caratterizzazioni rispettivamente di un punto interno, di un aperto e di un chiuso. La definizione solitamente usata di aperto in topologia è però di tipo assiomatico, come senz'altro sai, anche se un sottoinsieme $c$ di $a$ è aperto se e solo se ogni suo punto $z$ è interno ad esso (ma per essere interno a $c$ deve essere contenuto in un intorno contenuto in $c$ e un intorno di $z$ è usualmente definito come sottoinsieme contenente un aperto il quale a sua volta contiene $z$). Ciao!
@DavideGenova, thanks a lot 
Ciao
Ciao
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